Московский Государственный Технический Университет имени Н. Э. Баумана.
Домашнее задание по курсу общей физики
4 семестр
Тема: «Элементы квантовой механики»
г. Москва
2003 год
1
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
Предисловие.
Здесь приведены условия и решения задач по курсу общей физики, которые предлагались студентам Московского Государственного Технического Университета им. Н. Э. Баумана в качестве домашнего задания по теме «Элементы квантовой механики» (4 семестр 2002-2003 учебный год). Гарантии качества решённых задач практически нет, но некоторые из них вполне успешно сдавались многим преподам, работающим на кафедре общей физики (ФН-4). Автор хотел бы обратить внимание на ряд задач по теме «Соотношение неопределённостей Гейзенберга», потому что правильность решение задач на эту тему зависит не только от автора (от автора, правда, на 90%), но и от характера и настроения принимающего задание препода. Наибольшую неуверенность автор имеет относительно следующих задач: 14, 17, 19, 21, 40. При решении задач вычислительная
часть работы была переложена на такие серьёзные математические программы как MathCad 2001 и Maple7. В этих специализированных математических программах автор производил решение уравнений и систем уравнений, решение дифференциальных уравнений, вычисление интегралов, производных, а также построение графиков. Поэтому большинство вычислений Вы в решении не найдёте, потому что автор практически не умеет вручную считать интегралы и многое другое (не научился). Огромная просьба: если
вы не согласны с приведенным решением в корне или видите даже не столь значительные неточности, задача решена неправильно (что очень даже вероятно, так как автор такой же студент, как и Вы), то сообщите об этом пожалуйста по приведенному ниже адресу:
mailto:Sanish1@yandex.ru
С уважением, Ваш автор.
2
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
Задача № 1.
На какую кинетическую энергию должен быть рассчитан ускоритель заряженных частиц с массой покоя m0 , чтобы с их помощью можно было исследовать структуры с линейными
размерами l ? Решить задачу для электронов и протонов в случае l = 10−15 м , что соответствует характерному размеру атомных ядер.
Решение:
Воспользуемся соотношением неопределённостей Гейзенберга:
DxDpx ³ h |
(1) |
В нашем случае |
x = l , поэтому: |
l ×Dp : h |
(2) |
Импульс частицы p =< p > +Dp , где < p > - среднее значение, Dp - неопределённость
импульса. Значит, минимальное значение импульса равняется его неопределённости. Учитывая (2), можем записать:
l ×Dp = l × pmin = h |
(3) |
Кинетическая энергия частицы связана с её импульсом следующим выражением (будем считать, что частица релятивистская):
|
|
|
|
|
= 1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
p |
min |
K |
min |
(K |
min |
+ 2m c2 ) |
(4) |
||||||
|
|
c |
|
|
|
|
0 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Подставим (4) в (3) и получим уравнение: |
||||||||||||||
|
l |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
Kmin (Kmin + 2m0c2 ) = h |
(5) |
||||||||||
|
c |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Возведём обе части уравнения (5) в квадрат: |
||||||||||||||
|
K |
min |
(K |
min |
+ 2m c2 ) = æ hc ö2 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
ç |
|
÷ |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è l |
ø |
|
|
Сделав алгебраические преобразования, приходим к квадратному уравнению относительно Kmin :
K 2 |
+ 2m c2 K |
min |
- |
æ hc ö2 |
= 0 |
(6) |
||
min |
0 |
|
ç |
l |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
è |
ø |
|
|
|
Решая это квадратное уравнение, получим корни:
3
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
|
|
|
|
|
|
K |
|
= -m c2 |
± c m2c2 |
+ h2 |
|
|
min |
0 |
0 |
l2 |
|
Отрицательный корень физического смысла не имеет, поэтому в качестве окончательного результата берём положительный корень:
|
|
|
|
|
|
|
K |
|
= c m2c2 |
+ h2 |
- m c2 |
(7) |
|
|
min |
0 |
l2 |
0 |
|
|
Решим задачу для электронов:
Масса покоя электрона: me = 9.1×10−31 кг
Подставляя числовые значения в (7), получим:
|
|
|
|
|
|
|
Kmin = 3×108 (9.1×10−31 )2 ×9×1016 + |
(1.054×10−34 )2 |
- 9.1×10−31 |
×9×1016 |
= 3.15×10−11 Дж » 197МэВ |
||
10−30 |
||||||
|
|
|
|
|
||
Решим задачу для протонов:
Масса покоя протона: mp =1.672×10−27 кг
Подставляя числовые значения в (7), получим:
Kmin |
= 3×108 |
(1.672×10−27 )2 ×9×1016 + |
(1.054×10−34 )2 |
|
-1.672×10−27 |
×9×1016 |
= 3.29×10−12 Дж » 21МэВ |
|||
10−30 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K |
|
= c m2c2 + h2 |
- m c2 |
|
|
|
|
|
||
|
min |
0 |
l2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
для электронов: Kmin =197МэВ для протонов: Kmin = 21МэВ
Задача № 2.
При каком значении кинетической энергии дебройлевская длина волны электрона равна его комптоновской длине волны?
Решение:
Дебройлевская длина волны электрона:
λ = |
2π h |
(1) |
Б p
4
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
где p – импульс электрона. Будем считать, что мы имеем дело с релятивистским электроном, тогда его импульс связан с кинетической энергией следующим соотношением:
|
1 |
|
|
p = |
K (K + 2mc2 ) |
(2) |
|
|
c |
|
|
m - здесь и далее масса покоя электрона.
Подставим (2) в выражение (1), тогда получим для дебройлевской длины волны соотношение:
λБ = |
|
2π hc |
|
(3) |
|
|
|
|
|||
K (K + 2mc2 ) |
|||||
|
|
|
|
Комптоновская длина волны электрона:
λ = |
2π h |
(4) |
C mc
По условию задачи λБ = λС , поэтому мы можем записать:
|
2π hc |
|
= |
2π h |
(5) |
|
|
|
mc |
||
|
K (K + 2mc2 ) |
||||
|
|
|
|
Упростив это выражение и возведя обе части в квадрат, получим квадратное уравнение относительно K :
K 2 + 2mc2 K - m2c4 = 0 |
(6) |
Решая это уравнение, получим корни:
K1,2 = -mc2 ± mc2 
2
Отрицательный корень не имеет физического смысла, поэтому в качестве результата возьмём положительный корень:
K = mc2 ( |
2 |
-1) |
(7) |
Подставляя числовые значения, получим:
K = 9.1×10−31 ×9 ×1016 (
2 -1) = 3.3×10−14 Дж = 20.5кэВ
Ответ:
K = mc2 (
2 -1) ;
K = 20.5кэВ .
5
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
Задача № 3.
Электрон с длиной волны де Бройля λ1 =100пм , двигаясь в положительном направлении
оси x, встречает на своём пути прямоугольный порог высотой U = 100эВ . Определите длину волны де Бройля частицы после прохождения порога.
Решение:
Дебройлевская длина волны:
λ = |
2π h |
(1) |
Б p
где p - импульс частицы. В нашем случае p = 
2mK , где m - масса покоя электрона
(электрон считаем нерелятивистским). Тогда длина волны де Бройля электрона до прохождения порога:
λ = 2π h = |
|
|
2π h |
|
|
(2) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1 |
|
p1 |
2mK1 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||
После прохождения порога: |
|
|||||||||||||
λ |
= 2π h = |
|
|
2π h |
|
(3) |
||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
2 |
|
p2 |
|
2mK2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
Разделим (2) на (3): |
|
|||||||||||||
|
λ1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
= |
|
|
K2 |
|
|
(4) |
|
||||||
|
λ |
K |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
После прохождения порога кинетическая энергия электрона уменьшается до значения K2 = K1 -U (рисунок 1), поэтому получим:
λ1 |
= |
|
K2 |
|
= |
|
K1 -U |
|
= |
1- |
U |
|
Þ λ = |
|
|
λ1 |
|
|
(5) |
|
λ2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
K1 |
|
|
|
K1 |
2 |
|
|
|
|
U |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
K1 |
1 |
- |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
Рисунок 1
6
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
K1 найдём из уравнения (2):
= 2π 2h2
K1 mλ12
и подставим в уравнение (5):
λ2 = |
|
|
λ1 |
|
|
(6) |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
||||
|
1− |
mλ2U |
||||
|
2π |
2h2 |
||||
|
|
|
|
1 |
|
|
Подставляя числовые значения, получим: λ2 = 173пм
Ответ:
λ2 |
= |
|
|
λ1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
1− |
mλ2U |
|
||||
|
|
|
||||
|
|
2π |
2h2 |
|
||
|
|
|
|
|
1 |
|
λ2 |
= 173пм |
|
|
|||
Задача № 4.
Поток нейтронов проходит через узкие радиальные щели в двух дисках из кадмия, поглощающего нейтроны. Диски насажены на общую ось так, что щели повёрнуты друг относительно друга на угол α . Диски вращаются с угловой скоростью ω = 400 рад / c ,
расстояние между ними L = 1м . Найти угол α , если длина волны де Бройля пропускаемых таким устройством нейтронов равна λ = 0.1нм .
Решение:
Длина волны де Бройля нейтронов:
λ = |
2π h |
(1) |
Б p
где p - импульс нейтронов, равный p = mv . На рисунке 1 приведена схема установки:
7
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
|
|
Рисунок 2 |
Пусть |
t - время, за которое диски поворачиваются на угол α . Это время равно: |
|
Dt = |
α |
(2) |
|
ω |
|
Если нейтрон, пролетевший через первую щель, за время t пролетает расстояние между щелями, то он пройдёт через вторую щель. Скорость таких нейтронов равна:
v = |
L |
= |
ωL |
(3) |
|
Dt |
α |
||||
|
|
|
Импульс такого нейтрона равен:
p = mv = |
mωL |
(4) |
|
α |
|||
|
|
Длина волны нейтрона такого нейтрона:
λБ = |
2π hα |
|
|
(5) |
||
mωL |
||||||
|
|
|
||||
Отсюда найдём угол α : |
|
|||||
α = |
mωLλ |
(6) |
||||
|
Б |
|
||||
|
2π h |
|||||
Подставляя числовые значения, получим:
α = 5.5×10−5 рад =11.35''
Ответ:
α= mωLλБ 2π h
α= 5.5×10−5 рад =11.35''
8
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
Задача № 5.
Электрон, прошедший ускоряющую разность потенциалов U = 50В , попадает из вакуума в металл, внутренний потенциал которого ϕ = 5В . Найдите показатель преломления
металла ne для электронной волны де Бройля.
Решение:
Показатель преломления для дебройлевской волны электрона равен:
n = |
vв |
(1) |
e vc
где vв , vc - фазовые скорости дебройлевской волны в вакууме и среде соответственно.
Учитывая, что фазовая скорость равна vф = ωk , а k = 2λπ , где λ - дебройлевская длина
волны, получим: |
|
||||
n = |
vв |
= |
kc |
= λв |
(2) |
|
|
||||
e |
vc |
|
kв |
λc |
|
|
|
|
|||
По определению длина волны де Бройля:
λ = |
2π h |
(3) |
Б p
где p – импульс электрона.
В вакууме кинетическая энергия электрона была равна K1 = eU , его импульс:
p1 = |
2mK1 |
= |
2meU |
(4) |
Дебройлевская длина волны электрона в вакууме:
λв = |
|
2π h |
|
(5) |
|
|
|
|
|||
2meU |
|||||
|
|
|
|
В металле энергия электрона увеличится на величину eϕ . На рисунке 1 представлены графики зависимости ϕ(x) и U (x) = −eϕ(x) . Из рисунка справа ясно, что
K2 |
= K1 + eϕ = e(U +ϕ) . Тогда длина волны де Бройля электрона в металле: |
|||||
λc |
= |
|
2π h |
|
|
(6) |
|
|
|
|
|||
2me(U |
|
|||||
|
|
|
+ϕ) |
|||
9
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
Рисунок 3
Используя (2), найдём показатель преломления:
n = λв |
= |
U +ϕ |
= |
1+ ϕ |
(7) |
|
e |
λc |
|
U |
U |
|
|
|
|
|
||||
Подставляя числовые значения, получим:
ne = 1.05
Ответ:
ne = 
1+ Uϕ
ne = 1.05
Задача № 6.
Условие Брэгга-Вульфа с учётом преломления электронных волн в кристалле имеет вид 2d 
ne2 − cos2 θ = kλ , где d - межплоскостное расстояние, ne - показатель преломления, θ
- угол скольжения, k - порядок отражения. Найдите с помощью этого условия внутренний потенциал ϕ монокристалла серебра, если пучок электронов, ускоренный разностью
потенциалов U = 85В , образует максимум 2-ого порядка при брэгговском отражении от кристаллических плоскостей с d = 0.204нм под углом θ = 30o .
Решение:
Показатель преломления для дебройлевской волны электрона равен:
n = |
vв |
(1) |
e vc
10
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com