4 семестp / Дз / Dz_1 / Dz_reshenie

Поэтому в нашем случае получим, что среднее значение квадрата расстояния определяет следующее выражение:

где dV = 4π r2dr . Определим в данной пси-функции неизвестную константу A из условия нормировки:

Тогда пси-функция основного состояния электрона в атоме водорода имеет вид:

Задача № 44.

Частица находится в двумерной квадратной потенциальной яме с непроницаемыми стенками во втором возбуждённом состоянии. Найдите среднее значение квадрата

импульса частицы < p2 > , если сторона ямы равна a .

Решение:

72

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Рисунок 1

Составим уравнение Шредингера для области Ω :

где k2 = 2hm2 E . Решение этого дифференциального уравнения имеет вид:

Используем естественные условия, накладываемые на пси-функцию. Вне области Ω потенциальная энергия частицы равняется бесконечности, поэтому частица вне области Ω находиться не может. Значит, плотность вероятности нахождения частицы, а, значит, и пси-функция вне области Ω равны нулю. Из условия непрерывности пси-функций:

ψ(0, y) = 0 Þ sinα1 = 0 Þ α1 = 0

ψ(x,0) = 0 Þ sinα2 = 0 Þ α2 = 0

ψ(a, y) = 0 Þ sin k1a = 0 Þ k1a = ±π n1, n1 =1, 2,3,...

ψ(x, a) = 0 Þ sin k2a = 0 Þ k2a = ±π n2 , n2 =1,2,3,...

Значит, пси-функция имеет вид:

Дважды дифференцируя выражение (4) по x и по y, получим:

Подставим производные (5) в уравнение Шредингера (2):

73

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Мы получили энергетический спектр частицы в двумерной квадратной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Как видно из выражения (7) энергия частицы зависит от двух квантовых чисел. В таблице 1 приведено несколько значений квантовых

Как видно из таблицы во втором возбуждённом состоянии (третий энергетический уровень) n1 = 2, n2 = 2 .

Определим постоянную A в выражении (4), используя условие нормировки:

Тогда пси-функции собственных состояний частицы имеют вид:

Из постулатов квантовой механики среднее значение какой-нибудь физической величины Q в состоянии, описываемом пси-функцией ψ , определяется следующим образом:

74

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Формулы, связывающие физические величины в классической физике, в квантовой физике справедливы для операторов этих физических величин. Поэтому мы можем записать:

Найдём среднее значение квадрата импульса частицы в состоянии, описываемом пси- функцией (10):

Ответ:

< p2 >= 8πa22h2 .

Задача № 45.

Частица массой m0 находится в одномерной потенциальной яме с непроницаемыми стенками во втором возбуждённом состоянии. Найдите среднее значение кинетической энергии частицы < Ek > , если ширина ямы равна a .

Решение:

Вид потенциальной ямы представлен на рисунке 1:

ì¥, x < 0

U (x) = ïí0,,0 < x < a

ïî¥, x > a

Рисунок 23

Составим уравнение Шредингера для области 0 < x < a :

75

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

где k2 = 2hm20 E . Решение этого дифференциального уравнения имеет вид:

Используем естественные условия, накладываемые на пси-функцию. Так как в области x < 0 потенциальная энергия равняется бесконечности, то частица находиться в области x < 0 не может. Следовательно, плотность вероятности, а, значит, и пси-функция в области x < 0 равны нулю. Из условия непрерывности пси-функции для точки x = 0 получим:

ψ (0) = 0 Þ sinα = 0 Þ α = 0

Аналогично, из условия непрерывности пси-функции для точки x = a получим:

ψ (a) = 0 Þ sin ka = 0 Þ ka = ±π n, n =1,2,3,...

Тогда пси-функции собственных состояний частицы в данной потенциальной яме имеют вид:

Мы получили энергетический спектр частицы в потенциальной яме. Определим постоянную A в выражении для пси-функции (4), используя условие нормировки:

Тогда пси-функции собственных состояний имеют следующий вид:

76

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Во втором возбуждённом состоянии n = 3 (так как n = 1 - это основное состояние, n = 2 - первое возбуждённое), поэтому пси-функция второго возбуждённого состояния имеет вид:

Из постулатов квантовой механики среднее значение какой-нибудь физической величины Q в состоянии, описываемом пси-функцией ψ , определяется следующим образом:

где Q - оператор физической величины Q , а ψ * - функция, сопряжённая к пси-функции ψ . Операторы проекций импульса на координатные оси x,y,z имеют вид:

Формулы, связывающие физические величины в классической физике, в квантовой физике справедливы для операторов этих физических величин. Поэтому мы можем записать:

Операторы квадрата импульса и кинетической энергии связаны выражением:

В нашем одномерном случае оператор кинетической энергии имеет вид:

Тогда среднее значение кинетической энергии во втором возбуждённом состоянии определяется выражением:

Ответ:

77

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Задача № 47.

В некоторый момент времени координатная часть волновой функции частицы,

находящейся в одномерной прямоугольной потенциальной яме с абсолютно непроницаемыми стенками (0 < x < a) , имеет вид ψ (x) = Ax(a − x) . Найдите среднюю

кинетическую энергию частицы в этом состоянии, если масса частицы равна m0 .

Решение:

Из постулатов квантовой механики следует, что среднее значение некоторой физической величины Q в квантовом состоянии, описываемом пси-функцией ψ , определяется следующим образом:

функции ψ . Операторы проекций импульса на координатные оси x,y,z имеют вид:

Формулы, связывающие физические величины в классической физике, в квантовой физике справедливы для операторов этих физических величин. Поэтому мы можем записать:

Операторы квадрата импульса и кинетической энергии связаны выражением:

где m0 - масса частицы. В нашем одномерном случае оператор кинетической энергии имеет вид:

Определим постоянную A в выражении для пси-функции, описывающей состояние частицы, используя условие нормировки:

79

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com