Dp = |
2mKmin |
|
(3) |
где m = 9.1×10−31 кг |
- масса электрона. Воспользуемся первым соотношением |
||
неопределённостей Гейзенберга: |
|||
DpxDx : h |
(4) |
||
В нашем случае неопределённость импульса Dp = 
2mKmin , а Dx = lmin - минимальные линейные размеры атома. В этом случае выражение (4) примет вид:
|
×lmin : h |
(5) |
2mKmin |
Отсюда найдём минимальные линейные размеры атома водорода lmin :
lmin : |
|
h |
|
= 6.18×10−11 м |
(6) |
|
|
|
|
||||
2mKmin |
||||||
|
|
|
|
|
Ответ:
lmin = 6.18×10−11 м .
Задача № 13.
Покажите, используя соотношение неопределённостей, что электроны не могут входить в
состав атомного ядра. Линейные размеры ядра считать равными 5×10−15 м , а энергию связи нуклонов в ядре равной 10МэВ.
Решение:
Предположим, что электрон водит в состав ядра, то есть его местоположение
сосредоточено в области с линейными размерами порядка размеров ядра l = 5×10−15 м . Воспользуемся первым соотношением неопределённостей Гейзенберга:
DpxDx : h |
(1) |
Определим из него неопределённость импульса электрона, учитывая наше предположение:
Dp : h |
(2) |
l |
|
Значение импульса электрона равняется: |
|
p =< p > +Δp |
(3) |
21
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
где < p > - среднее значение импульса электрона, а p - его неопределённость. Из выражения (3) можно сделать вывод, что минимальное значение импульса электрона имеет порядок его неопределённости, так как в этом случае нужно положить < p >= 0 , то есть pmin = Dp . Тогда минимальное значение кинетической энергии электрона находится следующим образом:
K |
min |
= |
Dp2 |
= |
h2 |
=1.5ГэВ |
(4) |
|
2m |
2ml2 |
|||||||
|
|
|
|
|
Мы получили значение кинетической энергии электрона в :150 раз превосходящее значение энергии связи нуклонов в ядре, что доказывает, что электрон не может входить в состав атомного ядра.
Ответ: Электрон в состав атомного ядра входить не может на основании соотношения неопределённостей Гейзенберга.
Задача № 14.
Покажите, что соотношения неопределённостей позволяют сделать вывод об устойчивости атома, то есть о том, что электрон при движении по круговой орбите не может упасть на ядро.
Решение:
В классическом понимании выражение «электрон упал на ядро» следовало бы понимать в том смысле, что его импульс и координата приняли значения равные нулю, что в свою очередь означает, что координата и импульс электрона одновременно имеют абсолютно точное значение равное нулю, то есть неопределённости этих двух физических величин равны нулю. А это противоречит первому соотношению неопределённостей Гейзенберга:
DpxDx : h |
(1) |
То есть, если, например, в некоторый момент времени импульс частицы точно определён, то в этот момент времени координата частица неопределенна совершенно. Следовательно,
соотношение неопределённостей Гейзенберга позволяет сделать вывод об устойчивости атома.
Ответ: соотношения неопределённостей Гейзенберга позволяют сделать вывод об устойчивости атома.
Задача № 15.
Свободно движущаяся нерелятивистская частица имеет относительную неопределённость
кинетической энергии порядка 1.6×10−4 . Оцените, во сколько раз неопределённость координаты такой частицы больше её дебройлевской длины волны.
Решение:
22
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
Пусть K - абсолютная неопределённость кинетической энергии. Тогда неопределённость импульса частицы:
Dp = |
2mDK |
(1) |
Воспользуемся первым соотношением неопределённостей Гейзенберга:
DpxDx : h
Найдём неопределённость координаты частицы:
Dx : |
h |
= |
|
h |
|
Dp |
|
|
|||
2mDK |
|||||
|
|
|
Пусть кинетическая энергия частицы равняется K , Длина волны де Бройля частицы равняется:
λ = |
2π h |
= |
2π h |
|
Б |
p |
|
|
|
|
|
2mK |
||
|
|
|
||
(2)
(3)
тогда импульс частицы p = 
2mK .
(4)
Найдём отношение неопределённости координаты частицы к её дебройлевской длине волны:
Dx |
h |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
2mK |
|
|
(5) |
||||||||
λБ = |
|
|
|
|
× |
|
|
= |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
2π h |
2π |
|
|
|||||||
2mDK |
(DK K ) |
||||||||||||||
Отношение |
|
|
K |
=1.6×10−4 |
- это относительная неопределённость кинетической энергии |
||||||||||
|
K |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Dx =12.59 . |
|
||||||
частицы. Таким образом, |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λБ |
|
|||
Ответ:
Dx =12.59 . λБ
Задача № 16.
Используя соотношение неопределённостей энергии и времени, определите естественную ширину λ спектральной линии излучения атома при переходе его из возбуждённого
состояния в основное. Среднее время жизни атома в возбуждённом состоянии τ =10−8 с , а длина волны излучения λ = 600нм .
Решение:
Воспользуемся соотношением неопределённостей Гейзенберга энергии и времени:
23
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
E t : h |
(1) |
В нашем случае Dt =τ =10−8 с - среднее время жизни атома в возбуждённом состоянии.
Поэтому неопределённость энергии при переходе из возбуждённого состояния в основное:
DE : h |
(2) |
|||||
|
τ |
|
||||
Учитывая, что |
E = h ω , определим ширину спектральной линии: |
|||||
Dω = |
|
E |
: |
1 |
|
(3) |
|
|
|
||||
|
|
h τ |
|
|||
Длина волны и частота излучения связаны следующим соотношением:
λ = |
2π c |
|
|
|
|
(4) |
|
ω |
|
|
|||||
|
|
|
|
||||
Продифференцируем (4) и получим следующее выражение: |
|
||||||
dλ = - |
2π c |
dω = - |
λ2 |
dω |
(5) |
||
|
2π c |
||||||
|
|
ω2 |
|
|
|||
Прейдём к конечным приращениям и опустим знак минус, так как он показывает только то, что при увеличении частоты длина волны излучения уменьшается, поэтому в нашем случае он не существенен:
Dλ = |
λ2 |
Dω = |
λ2 |
=1.9×10−5 нм |
(6) |
|
2π c |
2π cτ |
|||||
|
|
|
|
|||
Ответ: |
|
|
|
|
||
Dλ =1.9×10−5 нм .
Задача № 17.
Частица массой m0 движется в потенциальном поле, в котором её потенциальная энергия равна U = kx22
неопределённостей минимально возможную энергию частицы в этом поле.
Решение:
Энергия частицы равняется:
E =< E > +ΔE |
(1) |
24
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
где < E > - среднее значение энергии частицы, а |
E - неопределённость энергии. Из |
||||
выражения (1) видно, что минимальное значение энергии частицы, в случае < E >= 0 , |
|||||
равняется по порядку величины её неопределённости Emin : DE . В этом случае |
|||||
неопределённость импульса частицы: |
|
||||
Dp = |
|
= |
|
|
(2) |
2m0DE |
2m0 Emin |
||||
С наибольшей степенью вероятности частица находится в области местонахождения классического осциллятора -x0 < x < x0 , где x0 - амплитуда колебаний классического осциллятора, которую определим, решая следующее уравнение:
U (x ) = E Þ |
m ω2 x2 |
= E |
Þ x = |
1 |
|
|
2E |
|
|
|
(3) |
|
|
|||||
0 0 0 |
|
|
|
min |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
ω0 |
|
|
|
||||||||||||||
0 |
|
min |
2 |
min |
0 |
|
|
m0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
где m ω2 |
= k . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||
Неопределённость частицы в этом потенциальном поле Dx : x0 = |
|
|
2Emin |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||
ω |
0 |
m |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|||
Воспользуемся первым соотношением неопределённостей Гейзенберга:
DxDpx : h |
(4) |
Подставляя в уравнение (4) выражения, полученные для неопределённостей импульса и координаты, получим:
|
|
1 |
|
|
|
|
: h Þ Emin : hω0 |
|
|
|
× |
|
|
2Emin |
|
(5) |
|||
2m0 Emin |
|||||||||
ω |
m |
||||||||
|
|
|
|
2 |
|
||||
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|||
Это значение соответствует нулевой энергии квантового гармонического осциллятора.
Ответ:
Emin : hω2 0 .
Задача № 18.
Оцените относительную ширину Dωω спектральной линии, если известны время жизни атома в возбуждённом состоянии τ =10−8 с и длина волны излучаемого фотона λ = 500нм .
Решение:
Воспользуемся соотношением неопределённостей Гейзенберга для энергии и времени:
E t : h |
(1) |
25
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
В нашем случае Dt =τ =10−8 с - среднее время жизни атома в возбуждённом состоянии, а E = h ω , поэтому из выражения (1) определим ширину спектральной линии ω :
hDωτ : h Þ Dω : |
1 |
|
(2) |
||||||
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
τ |
|
||
Частота и длина волны связаны соотношением: |
|
||||||||
ω = |
2π c |
|
|
|
|
(3) |
|||
λ |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
Относительная ширина спектральной линии равна: |
|
||||||||
|
Dω |
|
= |
λ |
= 2.65×10−8 |
(4) |
|||
|
ω |
2π cτ |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||
Ответ:
Dωω = 2.65×10−8 .
Задача № 19.
Пусть электрон находится в потенциальной яме с абсолютно непроницаемыми стенками. В этом случае его энергия E точно определена, а, следовательно, точно определено и
значение квадрата импульса электрона p2 = 2me E . С другой стороны, электрон находится
в ограниченной области с линейными размерами a . Не противоречит ли это соотношению неопределённостей.
Решение:
Воспользуемся первым соотношением неопределённостей Гейзенберга:
DxDpx : h |
(1) |
Если электрон находится в ограниченной области пространства с линейными размерами x = a , то неопределённость его импульса:
Dp : h |
(2) |
a |
|
Значение импульса электрона равно: |
|
p =< p > +Δp |
(3) |
26
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
где < p > - среднее значение импульса электрона, а |
p - его неопределённость. Тогда |
квадрат импульса равен: |
|
p2 = (< p > +Dp)2 =< p >2 +2 < p > Dp + Dp2 |
(4) |
Будем считать, что движения частицы во всех направлениях равновероятно, поэтому в этом случае < p >= 0 , тогда p2 = Dp2 . Минимальная энергия частицы в этом случае определяется следующим образом:
E = |
p2 |
= |
Dp2 |
: |
h2 |
(5) |
|
2m |
2m |
2ma2 |
|||||
|
|
|
|
Минимальная энергия (первый энергетический уровень) электрона в потенциальной яме с абсолютно непроницаемыми стенками равняется:
E = |
π 2h2 |
(6) |
|
2ma2 |
|||
1 |
|
Следовательно, используя соотношение неопределённостей Гейзенберга, мы нашли
правильное по порядку величины минимальное значение энергии электрона в потенциальной яме с бесконечно высокими стенками.
Задача № 20.
Оцените с помощью соотношения неопределённостей Гейзенберга неопределённость
скорости электрона в атоме водорода, полагая размер атома a =10−10 м . Сравните полученную величину со скоростью электрона на первой боровской орбите.
Решение:
Воспользуемся первым соотношением неопределённостей Гейзенберга:
DxDpx : h |
(1) |
В нашем случае неопределённость координаты Dx = a =10−10 м - размер атома, а неопределённость импульса p = m v , где m - масса электрона, а v - неопределённость скорости электрона. Тогда выражение (1) примет вид:
mDv ×a : h |
|
(2) |
||
Из этого уравнения найдём неопределённость скорости электрона: |
|
|||
Dv : |
h |
=1.2×106 м |
с |
(3) |
|
||||
|
ma |
|
||
Из постулатов Бора для атома водорода следует, что момент импульса электрона квантуется:
27
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
L = nh, n = 1,2,... |
(4) |
Учитывая определение момента импульса, имеем:
mvrn = nh |
(5) |
Между электроном и ядром действуют кулоновские силы притяжения, которые вызывают ускорение электрона при его движении по круговой орбите. На основании второго закона Ньютона можем записать:
|
mv2 |
= |
e2 |
|
k |
(6) |
|||||
|
r |
r |
2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
n |
|
|
n |
|
|
|
|
|||
где k = |
|
|
|
1 |
|
- введена из-за использования системы СИ. Из системы уравнений (5) и (6) |
|||||
4πε |
0 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||
определим радиусы орбит электронов: |
|||||||||||
r = |
h2 |
|
|
|
n2 |
(7) |
|||||
me2 |
|
|
|
k |
|||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|||||
и скорости электронов на этих орбитах:
v = |
e2 |
k |
(8) |
|
nh |
||||
n |
|
|
||
|
|
|
Для первой боровской орбиты n = 1, поэтому скорость электрона на этой орбите равна:
v |
= |
e2 |
k = 2.2×106 м |
с |
(9) |
|
h |
||||||
1 |
|
|
|
Из выражений (3) и (9) видим, что скорость электрона и неопределённость его скорости на первой боровской орбите в атоме водорода имеют один и тот же порядок.
Ответ:
v = 2.2×106 м с ,
Dv =1.2×106 м с .
Задача № 21.
Пользуясь решением задачи о гармоническом осцилляторе, найдите энергетический спектр частицы массой m0 в потенциальной яме вида
28
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
ì¥, x < 0 |
|
|
||
ï |
|
|
|
|
U (x) = íkx |
2 |
|
|
|
ï |
, x > 0 |
|
|
|
î 2 |
|
|
|
|
Здесь k = m ω2 , а ω |
0 |
- собственная частота гармонического осциллятора. |
||
|
0 |
0 |
|
|
Решение:
В задаче о квантовом гармоническом осцилляторе частица находится в потенциальной яме вида:
U (x) = |
kx2 |
= |
m ω2 x2 |
|
|
0 0 |
|||
2 |
2 |
|||
|
|
Рисунок 1
Составим уравнение Шредингера для частицы, находящейся в потенциальном поле вида, показанного на рисунке 1:
¶2ψ |
+ |
2m0 |
æ E - |
m0ω02 x2 |
öψ = 0 |
(1) |
||
|
2 |
|
|
|||||
¶x |
|
h |
2 |
ç |
2 |
÷ |
|
|
|
|
|
è |
ø |
|
|||
Значения энергии квантового гармонического осциллятора оказываются квантованными:
æ |
1 |
ö |
|
|
|
Ev = çv + |
|
÷hω0 |
|
(2) |
|
2 |
|
|
|||
è |
ø |
|
|
|
|
где квантовое число v принимает значения v = 0,1, 2,.... Значение E |
0 |
= hω0 |
называется |
||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
нулевым энергетическим уровнем. Решения дифференциального уравнения (1) являются пси-функциями, описывающими стационарные состояния квантового гармонического осциллятора. Они имеют вид:
|
æ |
|
ξ |
2 |
ö |
|
||
|
ç |
- |
|
÷ |
(3) |
|||
ψ v (x) = Hv (ξ ) × expç |
2 |
÷ |
||||||
|
è |
|
ø |
|
||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
где ξ = |
, а x = |
|
h |
|
|
|
. Hv(x) – специальные функции, которые называются |
|
|
m0ω0 |
|
|
|||||
|
0 |
|
|
|
||||
|
x0 |
|
|
|
||||
полиномами Чебышева-Эрмита. Они вычисляются следующим образом:
29
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ |
|
ξ |
2 |
ö |
|
|
|
|
v |
|
|
|
d |
v |
ç |
- |
|
÷ |
|
|
|
|
(-1) |
|
|
|
|
expç |
2 |
÷ |
|
||||
Hv (ξ ) = |
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
ø |
(4) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
dξ v |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2v v! |
|
π |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Первые три нормированные пси-функции, описывающие состояния квантового осциллятора, приведены ниже. Их графики на рисунке 2.
|
ψ 0 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
æ |
|
|
|
x |
2 |
|
ö |
|
|
|
|
|
|
|
||||
v = 0 |
(x) = |
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
expç |
- |
|
|
2 |
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
(5) |
|||||||||||
|
|
x0 π |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
2x0 |
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
ψ1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2x |
|
|
|
|
æ |
|
|
|
x |
2 |
ö |
|
|
|
|
|
|||
v = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|||||||
(x) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x0 |
expç |
- |
|
|
2 |
÷ |
|
|
|
|
(6) |
||||||||||
|
2x0 π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
2x0 |
ø |
|
|
|
|
|
||||||||
|
ψ 2 |
|
|
1 |
|
|
|
æ |
4x |
2 |
|
|
|
ö |
|
æ |
|
x |
2 |
ö |
|
|||||||||
v = 2 |
(x) = |
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
|
÷ |
|
ç |
|
|
÷ |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
2 |
|
- |
2 |
÷expç |
- |
|
2 |
÷ |
(7) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
8x0 π è |
x0 |
|
|
|
|
ø |
|
è |
|
2x0 |
ø |
|
||||||||||||
Рисунок 2
В нашей задаче потенциальная яма имеет вид, представленный на рисунке 3:
ì¥, x < 0 |
||
ï |
|
|
U (x) = íkx2 |
, x > 0 |
|
ï |
2 |
|
î |
|
|
Рисунок 3
Поэтому уравнение Шредингера для области x > 0 будет иметь такой же вид, как и для квантового гармонического осциллятора (уравнение (1)). В области x < 0 потенциальная энергия равняется бесконечности, поэтому частица в этой области находиться не может. Значит, плотность вероятности местонахождения частицы, а, следовательно, и пси-
30
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com