4 семестp / К экзамену / Bilety_2 / №24

Задача № 24.

Частица массы m находится в основном состоянии в двумерной

квадратной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Найти

энергию частицы, если максимальное значение плотности вероятности

местонахождения частицы равно Р max.

Решение:

Рисунок 1

Потенциальная энергия имеет вид:

Составим уравнение Шредингера для области :

(1)

Запишем уравнение (1) в виде:

где . Решение этого дифференциального уравнения имеет вид:

(2)

На волновые функции, решения дифференциального уравнения (1), накладываются стандартные условия: непрерывность, гладкость, однозначность и конечность. Используя условие непрерывности волновой функции вида (2) на краях потенциальной ямы, получим:

(3)

(4)

Из выражения (4), получим:

(5)

В этом случае уравнение (2) примет вид:

(6)

Продифференцируем выражение (6) в виде дважды по и по , и подставим в уравнение Шредингера (1):

Учитывая, что , получим:

(7)

Отсюда получим, что энергия частицы в потенциальной яме величина дискретная. Энергетический спектр частицы:

(8)