6 Алгоритмы определения пф структурных групп

Рассмотрим алгоритмы, которые легли в основу определения ПФ двухповодковых групп. Их графическая интерпретация позволит более наглядно представить решение поставленных задач.

6 Алгоритмы определения пф структурных групп.1 Группа первого вида

На рис. 6.1 представлена схема группы первого вида.

Заданные параметры: ПФ внешних кинематических пар – , , , , , , , , , , , ; длины звеньев l_AB, l_BC.

Так как каждое из звеньев группы содержит по одной точке, ПФ которых известны, необходимо определить угловые ПФ каждого звена: , , , , , .

Графический способ определения ПФ0 заключается в том, что из точек А и С, положение которых известно, необходимо циркулем сделать засечки радиусами, соответственно, lAB и lCB, на пересечении получить точку B и таким образом получить положение осей звеньев АВ и СВ. Заметим, что засечку можно расположить и по другую сторону от линии АС, что будет соответствовать другому варианту сборки звеньев.

Рисунок 6 АЛГОРИТМЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПФ СТРУКТУРНЫХ ГРУПП.1 – Схема группы первого вида

Аналитическое определение ПФ0 может быть выполнено в такой последовательности:

;

b=cosb= .

Если >1, то сборка группы невозможна, то есть засечки радиусами l_AB и l_CB не пересекаются.

b=-arctg( )+ .

Если X_A<X_C, то a=arctg .

Если X_A>X_C, то a=p+arctg .

При X_A=X_C и Y_A<Y_C a= .

При X_A=X_C и Y_A>Y_{C a}= .

j_AB=a+jb.

Признак сборки j может принимать значение +1 или –1, что определяется схемой группы, и чаще всего остаётся неизменным для всех положений исследуемого механизма. Исключение может быть в том случае, если при каком-либо значении ОК продольные оси звеньев АВ и СВ совпадают и оказывается необходимым изменить признак сборки.

X_B=X_A+L_AB cosj_AB;

Y_B=Y_A+L_AB sinj_AB.

Если X_B>X_C , j_CB=arctg .

Если X_B<X_C , j_CB=p+arctg .

Если X_B=X_C и Y_B>Y_C, то j_CB=90°.

Если X_B=X_C и Y_B<Y_C, то j_CB=270°.

Для определения ПФ1 звеньев группы используем систему уравнений в виде

(6 АЛГОРИТМЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПФ СТРУКТУРНЫХ ГРУПП.1)

Дифференцируя эти выражения по ОК, получим

(6 АЛГОРИТМЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПФ СТРУКТУРНЫХ ГРУПП.2)

Решая систему уравнений (6 АЛГОРИТМЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПФ СТРУКТУРНЫХ ГРУПП.2), получим:

; (6 АЛГОРИТМЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПФ СТРУКТУРНЫХ ГРУПП.3)

. (6 АЛГОРИТМЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПФ СТРУКТУРНЫХ ГРУПП.4)

Дифференцируя эти выражения ещё раз по ОК, получим:

; (6 АЛГОРИТМЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПФ СТРУКТУРНЫХ ГРУПП.5)

. (6 АЛГОРИТМЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПФ СТРУКТУРНЫХ ГРУПП.6)

6 Алгоритмы определения пф структурных групп.2 Группа второго вида

На рис. 6.2 представлена схема группы второго вида.

Рисунок 6 АЛГОРИТМЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПФ СТРУКТУРНЫХ ГРУПП.2 – Схема группы второго вида

Заданные параметры:

- ПФ точки А вращательной КП: , , , , , ;

- ПФ элементов направляющей, по которой перемещается ползун, если направляющая неподвижна, или камень, если направляющая движется: , , , , , , , , ;

- длина звена l_AB;

- параметр h, определяющий положение шарнира В относительно направляющей.

Заметим, что величина h может быть как положительной, так и отрицательной в зависимости от положения точки В по одну или другую сторону от направляющей.

Следует определить угловые ПФ звена АВ: , , .

Графическое определение ПФ0 заключается в том, что из точки А циркулем радиусом l_AB нужно сделать засечку на прямой, отстоящей от направляющей на величину h.

Из рис. 6 АЛГОРИТМЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПФ СТРУКТУРНЫХ ГРУПП.2 видно, что эта задача имеет два решения, соответствующих разным вариантам сборки.

Аналитическое определение φ_АВ может быть выполнено в такой последовательности.

Решая систему уравнений:

(6 АЛГОРИТМЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПФ СТРУКТУРНЫХ ГРУПП.7)

где k=tgj_N;

Y_N0=Y_N + ,

получим

X_B= , (6 АЛГОРИТМЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПФ СТРУКТУРНЫХ ГРУПП.8)

где а=1+k²;

p=0,5(2X_A–r₁k+r₂k);

q₀=X_A²–r₁r₂;

r₁=L_AB+kX_N+Y_N0–Y_A;

r₂=L_AB+kX_N–Y_N0+Y_A.

Признак сборки j, соответствующий различным положениями шатуна АВ (см. сплошную и штриховую линии на рис. 6 АЛГОРИТМЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПФ СТРУКТУРНЫХ ГРУПП.2), принимает значение +1 или –1 и чаще всего остаётся неизменным для любых положений механизма.

Он может измениться в случае, если шатун АВ проходит через положение, перпендикулярное направляющей ползуна.

Если b₁=p²-(1+k²)q₀<0, то сборка группы невозможна, то есть длина шатуна l_AB оказывается меньше расстояния от точки А до линии, вдоль которой должен перемещаться шарнир В.

Y_B=kX_B–kX_N+Y_N0, (6 АЛГОРИТМЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПФ СТРУКТУРНЫХ ГРУПП.9)

k_AB=tg =(Y_B-Y_A)/(X_B-X_A). (6 АЛГОРИТМЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПФ СТРУКТУРНЫХ ГРУПП.10)

Если X_B>X_A, то j_AB=arctgk_AB,

если X_B<X_A, то j_AB=p+arctgk_AB,

если X_B=X_A и Y_B>Y_A, то j_AB=p/2,

если X_B=X_A и Y_B<Y_A, то j_AB=-p/2.

Если j_N=90 и k=¥, то

(6 АЛГОРИТМЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПФ СТРУКТУРНЫХ ГРУПП.11)

ПФ1 можно определить, дифференцируя по ОК выражения (6 АЛГОРИТМЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПФ СТРУКТУРНЫХ ГРУПП.7):

(6 АЛГОРИТМЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПФ СТРУКТУРНЫХ ГРУПП.12)

где ;

.

Решая систему уравнений (6 АЛГОРИТМЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПФ СТРУКТУРНЫХ ГРУПП.12), получим:

, (6 АЛГОРИТМЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПФ СТРУКТУРНЫХ ГРУПП.13)

. 6 АЛГОРИТМЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПФ СТРУКТУРНЫХ ГРУПП.14)

Tогда или . (6 АЛГОРИТМЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПФ СТРУКТУРНЫХ ГРУПП.15)

Если j_N=90° и k=¥, то, дифференцируя выражение (6 АЛГОРИТМЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПФ СТРУКТУРНЫХ ГРУПП.11), получим

(6 АЛГОРИТМЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПФ СТРУКТУРНЫХ ГРУПП.16)

Для определения ПФ2 дифференцируем выражения (6 АЛГОРИТМЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПФ СТРУКТУРНЫХ ГРУПП.13)…(6 АЛГОРИТМЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПФ СТРУКТУРНЫХ ГРУПП.15):

, (6 АЛГОРИТМЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПФ СТРУКТУРНЫХ ГРУПП.17)

где ,

.

Если , то , а следует определить по формуле

, (6 АЛГОРИТМЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПФ СТРУКТУРНЫХ ГРУПП.18)

, (6 АЛГОРИТМЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПФ СТРУКТУРНЫХ ГРУПП.19)

.