0.6. Системы счисления.

Система счисления — это система записи чисел.

Пусть b — натуральное число, большее единицы. Тогда любое целое неотрицательное число единственным образом представимо в виде:

a = a_n–1b^n–1 + a_n–2 b^n–2 + ... + a₁b + a₀,

где . (Это теорема, ее доказательство опустим.) Число a записывают так: a = a_n–1a_n–2...a₀. Здесь b — основание системы счисления, n — разрядность числа, a_i — цифры. Это представление называют позиционным, так как "вклад" каждой цифры определяется ее позицией в числе: последняя (младшая) цифра умножается на весовой коэффициент b⁰ = 1, а первая (старшая) цифра — на b^n–1.

Обычно используют следующие системы счисления: b = 2 — двоичная (binary), b = 8 — восьмеричная (octal), b = 10 — десятичная (decimal), b = 16 — шестнадцатеричная (hexadecimal). Перевод чисел из одной системы счисления в другую основывается на записи многочлена по так называемой схеме Горнера:

a = (...((a_n–1b + a_n–2)b + a_n–3)b+... + a₁)b + a₀.

Ясно, что a₀ — остаток от деления a на b, a₁ — остаток от деления предыдущего частного на b и т.д. Наконец a_n–1 — последнее частное.

Пример. 26₁₀ перевести в двоичную систему счисления. Выполняем последовательное деление 26 на 2, далее располагаем в обратном порядке последнее частное и остатки (рис. 0.2).

26	2
26	13	2
0	12	6	2
	1	6	3	2
		0	2	1
			1	
			

Рис. 0.2.

Получена двоичная запись исходного числа. Итак, 26₁₀ = 11010₂.

Проверка: (((1*2+1)*2+0)*2+1)*2+0=26, или 1*2⁴+1*2³+0*2²+1*2¹+0*2⁰ = 26.

Упражнение. Перевести 57₁₀ в двоичную систему счисления.

Упражнение. Перевести 1001101₂ в десятичную систему счисления.

0.7. Шестнадцатеричная система счисления

ЭВМ строится на базе элементов, которые могут находиться в двух устойчивых состояниях. Эти состояния кодируются нулем и единицей. Информация внутри ЭВМ представляется цепочками нулей и единиц, поэтому для чисел наиболее естественно использовать двоичную систему счисления. Но эта система неудобна для человека — сразу и не скажешь, например, различны ли числа 1110010010110111 и 1110011010110111 и какое из них больше. Хотелось бы иметь более компактную запись, причем такую, чтобы по ней можно было легко восстановить исходное двоичное представление. К счастью, системы счисления, основания которых являются степенями двойки (b = 2^k), очень просто связаны с двоичной. Используют, как правило, b = 8 или b = 16. Для b = 16 представление удобнее (почему — разберем чуть позже).

a = a_n–116^n–1 + a_n-216^n–2 + ... + a₁16 + a₀, 0  a_i  15.

Каждую цифру a_i представим в двоичной системе: a_i = c_i,32³ + c_i,22² + c_i,12¹ +c_i,0. Подставляя их в исходное 16-ричное представление, получаем двоичное представление числа. Итак, для перехода от одного основания к другому нужно иметь таблицу двоичного представления чисел (цифр) от 0 до 15.

Составим таблицу (табл. 0.3) двоичных представлений для чисел от 0 до 2⁴ – 1 = 15. (Например, 6 = 1*2²+1*2¹+0*2⁰.) Арабских цифр для этого не хватает, поэтому условились цифрам выше 9 ставить в соответствие буквы латинского алфавита.

Таблица 0.3. Числа от 0 до 15 в двоичной и 16-ричной системах счисления

b = 16	b = 2	b = 16	b = 2	b = 16	b = 2	b = 16	b = 2
0	0000	4	0100	8	1000	C(12)	1100
1	0001	5	0101	9	1001	D(13)	1101
2	0010	6	0110	A(10)	1010	E(14)	1110
3	0011	7	0111	B(11)	1011	F(15)	1111

Эту таблицу необходимо выучить наизусть. Тяжелее всего выучивается старшая часть таблицы. Для некоторых цифр можно предложить мнемонические правила (рис. 0.3). Буква А ножками упирается в единицы, перекладина — над нулем. Буквы C и E положим набок, тогда каждой горизонтальной перекладине соответствует единица.

Рис. 0.3.

Наконец, буква F (Finish) соответствует последней (финальной) цифре.

Теперь сформулируем правила перехода.

Переход 16  2. Заменить каждую цифру ее двоичным представлением. Например, 1A = 0001 1010 = 11010. (Ведущие нули можно опустить.)

Переход 2  16. Разбить число справа налево на тетрады (четверки цифр). Каждую тетраду заменить 16-ричной цифрой. Например,

10110111111100	= 10 1101 1111 1100	= 2DFC.
	

Упражнение. Найти двоичные и десятичные эквиваленты следующих 16-ричных чисел: D5, 9A26, 7BF5.

Упражнение. Сформулируйте правила перехода для восьмеричной системы счисления. Приведите примеры.

В заключение процитируем Питера Нортона: "Шестнадцатеричная система - разумный компромисс между тем, что удобно машине, и тем, что удобно нам с вами" [Нортон].