
Элементы комбинаторики
При нахождении значений m и n целесообразно пользоваться элементами комбинаторики.
Перестановками
называются комбинации, состоящие из
одних и тех же n различных
элементов,отличающиеся только порядком
следования элементов. Число всех
возможных перестановок
,
где n!= 1*2*3***n.
Размещениями
называются комбинации, составленные
из n различных элементов
по m элементов, которые
отличаются либо составом элементов,
либо порядком их следования
Сочетаниями
называются комбинации, составленные
из n различных элементов
по m элементов, отличающиеся
друг от друга либо составом элементов
либо порядком их следования
Размещения,
перестановки и сочетания связаны
равенством
Определения сопровождаются примерами.
Статистическая вероятность. Геометрическая вероятность
«Классическое»определение вероятности предполагает, что число исходов испытанеий конечно . На практике же часто встречаются испытания,число возможных исходов бесконечно.. В таких случаях классическое определение неприемлемо.
Наиболее слабая сторона этого определения состоит в том , что очень невозможно представить результат испытания в виде совокупности элементарных событий. Еще труднее указать основания, позволяющие считать элементарные события равновозможными.
По этим причинам наряду с классическим определением пользуются также статистическим определением вероятности, принимая за вероятность события относительную частоту или число близкое к ней. Например, если в результате достаточно большого числа испытаний оказалось, что относительная частота весьма близка к числу 0,4, то это число можно принять за статистическую вероятность события.
Пример. В ящике имеется 50 одинаковых деталей, 5 из которых окрашены. Найти вероятность того, что наудачу извлеченная деталь окажется окрашенной.
Решение. Вычислим частоту события, состоящего в том, что деталь окрашена. В данном случае, она является статистической вероятностью
Р(А) = 5/50=0,1.
Геометрическое
определение вероятности используется
при вычислении вероятности появления
события в том случае, когда результат
испытания определяется случайным
положением точек в некоторой области,
причем любые положения точек в этой
области равновозможны. Если размер этой
области S, а размер той
части области, попадание в которую
благоприятстсвует данному событию
есть
,
то вероятность события А равна
Р(А)=
. v
Область S может иметь любое число измерений, поэтому и S могут представлять собой длины отрезков, площади, объемы и т.д.
При решении задач на геометрические вероятности особое внимание следует обращать на то, какие параметры принимают равновозможные значения.
Пример. На квадрат со стороной а наудачу брошена точка. Найти вероятность того, что точка окажется внутри круга, вписанного в данный квадрат
Решение.
Площадь квадрата со стороной а составляет
,
площадь круга, вписанного в квадрат
есть
.
Таким образом, вероятность в нашем
случае равна р(А)=
=
.