Элементы комбинаторики

При нахождении значений m и n целесообразно пользоваться элементами комбинаторики.

Перестановками называются комбинации, состоящие из одних и тех же n различных элементов,отличающиеся только порядком следования элементов. Число всех возможных перестановок , где n!= 1*2*3***n.

Размещениями называются комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются либо составом элементов, либо порядком их следования

Сочетаниями называются комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов, отличающиеся друг от друга либо составом элементов либо порядком их следования

Размещения, перестановки и сочетания связаны равенством

Определения сопровождаются примерами.

Статистическая вероятность. Геометрическая вероятность

«Классическое»определение вероятности предполагает, что число исходов испытанеий конечно . На практике же часто встречаются испытания,число возможных исходов бесконечно.. В таких случаях классическое определение неприемлемо.

Наиболее слабая сторона этого определения состоит в том , что очень невозможно представить результат испытания в виде совокупности элементарных событий. Еще труднее указать основания, позволяющие считать элементарные события равновозможными.

По этим причинам наряду с классическим определением пользуются также статистическим определением вероятности, принимая за вероятность события относительную частоту или число близкое к ней. Например, если в результате достаточно большого числа испытаний оказалось, что относительная частота весьма близка к числу 0,4, то это число можно принять за статистическую вероятность события.

Пример. В ящике имеется 50 одинаковых деталей, 5 из которых окрашены. Найти вероятность того, что наудачу извлеченная деталь окажется окрашенной.

Решение. Вычислим частоту события, состоящего в том, что деталь окрашена. В данном случае, она является статистической вероятностью

Р(А) = 5/50=0,1.

Геометрическое определение вероятности используется при вычислении вероятности появления события в том случае, когда результат испытания определяется случайным положением точек в некоторой области, причем любые положения точек в этой области равновозможны. Если размер этой области S, а размер той части области, попадание в которую благоприятстсвует данному событию есть , то вероятность события А равна

Р(А)= . v

Область S может иметь любое число измерений, поэтому и S могут представлять собой длины отрезков, площади, объемы и т.д.

При решении задач на геометрические вероятности особое внимание следует обращать на то, какие параметры принимают равновозможные значения.

Пример. На квадрат со стороной а наудачу брошена точка. Найти вероятность того, что точка окажется внутри круга, вписанного в данный квадрат

Решение. Площадь квадрата со стороной а составляет , площадь круга, вписанного в квадрат есть . Таким образом, вероятность в нашем случае равна р(А)= = .