Аксиома нерерывности множества вещественных чисел. Точные грани числовых множеств.
Для любых непустых
подмножеств
и
числовой прямой
,
обладающих тем свойством, что
,
существует, по крайней мере, одно такое
число
,
которое разделяет эти множества, т.е.
.
(Образно говоря, аксиома непрерывности гласит, что множество вещественных чисел не имеет дыр.)
Наименьшая из
верхних граней множества
называется точной
верхней гранью
этого множества, а наибольшая из его
нижних граней называется точной
нижней гранью
этого множества.
(Точная верхняя
грань множества
обозначается символом
,
а точная нижняя грань множества
обозначается
).
Второе определение точной верхней грани:
Число
называется точной
верхней гранью
множества
,
если
1)
и
2)
.
(Условие 1) здесь означает, что С- верхняя грань множества , а условие 2), в свою очередь, означает, что никакое число, меньшее чем С, верхней гранью множества уже не является и, следовательно, число C является наименьшей из верхних граней множества )
Второе определение точной нижней грани:
Число называется точной нижней гранью множества если
1)
(⇒
с –
нижняя грань
)
и
2)
(⇒,
с учетом j),
c
– наименьшая нижняя грань
).
(Не
всякое числовое множество имеет
наибольший, как и наименьший элемент.
Так, например, любой интервал
не имеет ни наибольшего, ни наименьшего
элементов, а обе его точные грани
существуют , при этом
,
а
;
любой полуинтервал
не имеет наибольшего элемента, но имеет
наименьший элемент, а любой полуинтервал
имеет наибольший элемент, но не имеет
наименьшего.)
Предел числовой последовательности. Сходящиеся и расходящиеся последовательности. Единственность предела. Ограниченность сходящейся числовой последовательности.
Число
(точка)
называется пределом
последовательности
,
если для любого
существует такой номер
,
что для всех натуральных
имеет место неравенство
.
(Обозначение:
,
или
(а также
при
))
Краткое,
символическое определение:
|
Геометрическая форма определения предела последовательности:
Интервал
=
называется
-окрестностью
точки
.
Так
как
То
Наконец,
определение предела числовой
последовательности может быть
сформулировано следующим образом: Число
(точка)
называется пределом
последовательности
,
если все ее члены, начиная с некоторого
номера, принадлежат любой наперед
заданной окрестности
точки
.
Если числовая последовательность имеет предел, то говорят, что она сходится и называют ее сходящейся. В противном случае, т.е. если она не имеет предела, говорят, что она расходится и называют ее расходящейся.
(Очевидно, что если последовательность сходится (расходится), то сходящейся (расходящейся) будет и последовательность полученная из нее добавлением или исключением из нее конечного числа членов, при этом в случае сходимости исходной последовательности новая последовательность, будет иметь тот же предел, что и исходная. )
Единственность предела.
Всякая сходящаяся последовательность имеет только один предел.
Числовая
последовательность
называется
А)
ограниченной,
если
:
Б)
ограниченной
сверху, если
:
В)
ограниченной
снизу, если
Всякая сходящаяся последовательность ограничена.
(Утверждение обратное к утверждению последней теоремы, вообще говоря, неверно.)
Пример
1. Рассмотрим
последовательность
такую, что
,
. Эта последовательность представляет
собой чередующиеся числа
:
.
Очевидно,
она ограничена
Но
если
,
то каково бы ни было
числа
одновременно не могут принадлежать
-окрестности
,
так как расстояние между точками
и
равно
и при меньше двух, а расстояние между двумя соседними точками рассматриваемой последовательности равно двум и следовательно они одновременно не могут принадлежать такой -окрестности любой точки .
Пример
(стационарные
последовательности).
Последовательность
называется стационарной
, если все
ее члены за исключением быть может
конечного их числа равны одному и тому
же вещественному числу
, т.е. если
такое, что
.
Очевидно, всякая стационарная последовательность сходится и ее предел равен тому числу , которому равны все ее члены за исключением конечного их числа.
Очевидно,
для любого вещественного числа
существует единственное целое число
такое,
что
.
Оно
называется целой
частью числа
и обычно обозначается
.