![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Основные понятия и определения тоау. Состав асу. Структура асу. Основные принципы разработки асу.
- •Особенности функционирования асу с человеком оператором.
- •Постановка задач управления динамическими системами.
- •Задача стабилизации. Линейные динамические системы.
- •Подобные преобразования линейных динамических систем.
- •Управляемость динамических систем.
- •Наблюдаемость динамических систем.
- •Устойчивость решений динамических систем. Знакопостоянные и знакоопределенные функции.
- •Прямой (второй) метод исследования устойчивости Ляпунова.
- •Первый метод Ляпунова исследования устойчивости динамических систем.
- •Принцип оптимальности Беллмана для задачи быстродействия.
- •Принцип оптимальности Беллмана для неотрицательного функционала (критерия оптимальности).
- •Принцип оптимальности Беллмана для линейных динамических систем.
- •Связь метода динамического программирования с методом Ляпунова.
- •Выбор критерия оптимальности при оптимальном управлении линейными динамическими системами.
- •Главные малые колебания динамической системы. Управляемость и наблюдаемость колебательных систем.
- •Идентификация статических математических моделей при разработке систем управления.
- •Планы первого и второго порядка. Критерии оптимальности планов.
- •Идентификация динамических математических моделей.
- •Последовательный (итерационный) метод наименьших квадратов при идентификации математических моделей.
- •Дискретные системы управления. Z – преобразование для линейных дискретных систем.
- •Свойства z – преобразования.
- •Решение разностных уравнений.
- •Обратное z – преобразование.
- •Передаточные функции разомкнутых импульсных систем.
- •Передаточные функции замкнутых импульсных систем.
- •Метод корневого годографа для непрерывных и дискретных систем управления.
- •Билинейное преобразование
- •Оценка точности в установившимся режиме для цифровых су.
- •Использование корректирующих устройств для улучшения характеристик су
- •Пид регуляторы и их передаточные функции.
- •Идентификация динамических моделей с помощью анализа переходных характеристик. Общая характеристика методов.
- •И дентификация динамических моделей с помощью анализа переходной ступенчатой характеристики.
- •Идентификация динамических моделей с помощью анализа переходной импульсной характеристики.
- •Идентификация динамических моделей с помощью анализа амплитудной и фазовой характеристик.
- •Идентификация динамических моделей с помощью метода корреляционных функций.
Прямой (второй) метод исследования устойчивости Ляпунова.
Если уравнения движения системы dy/dt = Ф(y,t) (3.17) таковы, что можно найти знакоопределенную положительную функцию W(y, t), полная производная которой
(3.18),
вычисленная в силу этих уравнений, есть
знакопостоянная отрицательная функция
или тождественно равная нулю, то
невозмущенное движение y
= 0 устойчиво по Ляпунову.
В
случае, когда функция W(y)
не зависит от времени (это имеет место,
например, для автономных систем, правые
части которых не зависят от времени)
есть скалярное произведение вектора
градиента функции
с компонентами (
)
и вектора скорости (
)
изображающей точки в фазовом пространстве.
По условию производная dW/dt
отрицательна или нуль. С учетом того,
что вектор градиента всегда направлен
по нормали к поверхности W(y)
= C
в сторону возрастания функции W(y),
то траектории системы пересекают (в
силу отрицательности скалярного
произведения) замкнутую поверхность
W(y)
= C
извне во внутрь или располагаются на
ней (если dW/dt
=
0). В любом случае при любом ε
> 0 всегда можно выбрать δ
≤ C
< ε
такое, что если неравенство ||y(to)||
≤ δ
выполняется при условии dW/dt
≤ 0, то любая траектория системы может
покинуть поверхность W(y)
= C
только в сторону убывания W(y),
и неравенство ||y(t)||<ε
будет соблюдаться при любом t
> to,
что и требовалось доказать.
***
Если уравнения движения системы (3.17) таковы, что можно найти знакоопределенную положительную функцию W(y,t), допускающую бесконечно малый высший предел при ||y||→0 и имеющую знакоопределенную производную по времени в силу этой системы, то невозмущенное движение y = 0 асимптотически устойчиво.
Доказательство достаточно простое в случае, когда функция W не зависит от времени. Так как производная dW/dt ≤ 0 и обращается в ноль только в начале координат y = 0, то любая траектория системы будет пересекать поверхность W(y) = C снаружи внутрь. Поскольку число
ε > 0 можно выбирать сколь угодно малым, то такое поведение траекторий можно проследить до момента прихода их в точку y = 0.
Первый метод Ляпунова исследования устойчивости динамических систем.
Применяется только для ЛДС или для ЛС, близких к линейным.
ЛДС dy/dt = By асимптотически устойчива, если действительные части всех собственных значений матрицы B отрицательны (Re(λi) < 0), каковы бы не были нелинейные слагаемые, полученные в этой ДС.
Замечания:
Если dy/dt = By + B2(y), то нелинейные слагаемые B2(y) должны обращаться в 0 при y = 0.
Если хотя бы одна действительная часть Re(λi) > 0, то решение y = 0 неустойчиво, каковы бы не были нелинейные слагаемые B2(y).
Если если хотя бы одна действительная часть Re(λi) обращается в 0, то первый метод Ляпунова не даёт ответа на вопрос об устойчивости. Необходимо пользоваться вторым методом или анализировать нелинейные слагаемые ДС.
Принцип оптимальности Беллмана для задачи быстродействия.
Принцип
оптимальности Беллмана: «Оптимальные
стратегии управления обладают тем
свойством, что каково бы ни было начальное
состояние системы и управление в
начальный момент, последующее управление
должно быть оптимальным в смысле
заданного критерия относительно любого
другого состояния, которое могло бы
явиться естественным следствием
управления в начальный момент». Этот
принцип для динамических систем может
быть сформулирован короче: любой отрезок
оптимальной траектории есть тоже
оптимальная траектория. Последнее
означает, что независимо от того, каким
было управление на начальном отрезке
[to,T],
последующее управление на отрезке [t,T]
должно обладать свойством оптимальности
по выбранному критерию. Следовательно,
если ставится задача поиска оптимального
управления на всем отрезке[to,T],
то управление u
должно быть оптимальным в каждый момент
времени tЄ[to,T].
Применение принципа оптимальности
Беллмана для динамических систем (1.1) и
(1.8) приводит к необходимости решения
некоторого уравнения в частных производных
– уравнения Беллмана относительно
функции
вектора переменных состояния x
(или y).
Данную функцию обычно называют
производящей и ее определение позволяет
найти оптимальное управление uo
как функцию от вектора состояния x
(или y),
то есть решить задачу синтеза.
Выведем
уравнение Беллмана для задачи
быстродействия I
= T
при управлении динамической системой
общего вида (1.1). Пусть xo
= x(to)
- начальное положение системы (1.1).
Необходимо найти управление uo
Є U,
переводящее систему (1.1) из положения
xo
= x(to)
в заданное положение xT
= x(T)
за минимальное время. Возьмем некоторый
момент времени
tЄ[to,T].
Переход из состояния xo
в состояние x
=
x(t)
осуществляется за время t
– to
(это время не обязательно минимально).
Двигаясь затем из состояния x(t)
в состояние x(T)
оптимально затратим минимальное время
T(x).
Общее время перехода будет равно t
– to
+ T(x).
Пусть T(xo)
минимальное время перехода из состояния
xo
в состояние xT,
тогда справедливо неравенство T(xo)
≤
t
– to
+ T(x)
или
,
где введено обозначение
.
При t→to
получаем
или
(3.1).
Так
как начальная точка x(to)
была выбрана произвольно, то согласно
принципу динамического программирования
соотношение (3.1) должно быть справедливо
для любой точки x(t),
а не только для x(to).
Следовательно, для любого момента
времени t
имеем неравенство
,
где знак равенства соответствует
оптимальной траектории.
Таким образом, оптимальное управление должно быть вычислено из условия
.
Определив из этого условия функцию
и подставив в это же соотношение, получим
дифференциальное уравнение в частных
производных (уравнение Беллмана) в виде
(3.3)
относительно производящей функции
.
Решая уравнение (3.3) и, тем самым, определяя функцию , затем находим оптимальное управление , так как вид этой функции известен.
Замечание. При определении управления и при выводе уравнения Беллмана (3.3) было сделано предположение о существовании оптимальной (в смысле быстродействия) фазовой траектории системы (1.1) и о непрерывности функции и ее частных производных.