2 Семестр.
Числовые ряды: определение сходимости ряда, арифметические действия с рядами (сложение, ассоциативность, коммутативность, умножение), признаки сходимости числовых рядов.
Функциональные ряды: равномерная сходимость, о почленном дифференцировании и интегрировании рядов, степенные ряды (радиус сходимости, операции анализа над степенными рядами), разложение в степенной ряд элементарных функций.
Дифференциальное исчисление функций многих переменных: о многомерном евклидовом пространстве, дифференциал и частные производные, формула Тейлора, понятие о неявных отображениях, экстремум функций многих переменных, об интегралах, зависящих от параметра, пример Г-функции.
Интегральное исчисление функций многих переменных: определение интеграла Римана по параллелепипеду, распространение интеграла на произвольные множества, квадрируемые по Жордану фигуры и существование интеграла, вычисление многократных интегралов посредством повторного интегрирования, о замене переменных в многократных интегралах, геометрические приложения многократных интегралов.
2. Примерный перечень вопросов к экзамену
1 Семестр.
Множества и операции над ними.
Аксиома непрерывности в множестве вещественных чисел, точные грани числовых множеств.
Математическая индукция, конечный бином Ньютона, неравенство Я.Бернулли.
Определение предела последовательности, ограниченность сходящейся последовательности, единственность предела.
Арифметика предела последовательностей.
Теорема Вейерштрасса о монотонных последовательностях.
Число
.
Теорема Больцано-Вейерштрасса о точках сгущения последовательности.
Теорема Коши о сходящихся в себе последовательностях.
Понятие о мощности множества, минимальность счетной мощности.
Несчетность вещественного отрезка, мощность R.
Арифметика предела функции.
Предел сложной функции.
Односторонние пределы функции, пределы монотонной функции.
Классификация точек разрыва функции, разрывы монотонной функции.
Теорема о промежуточных значениях функции, непрерывной на отрезке.
Теорема об экстремальных значениях функции, непрерывной на отрезке.
Теорема о непрерывности обратной функции.
Теорема Кантора о равномерной непрерывности на отрезке.
Непрерывность элементарных функций: xm/n, ex, ln(x), sin(x), arcsin(x).
Вычисление предела sin(x)/x.
Вычисление пределов (1+x)1/x, (ex-1)/x, ln(1+x)/x, ((1+x)m-1)/(mx).
Определение дифференциала и производной, критерий дифференцируемости, геометрический смысл производной.
Арифметика дифференцирования.
Производная сложной и обратной функций.
Дифференциалы и производные высших порядков, связь между ними, инвариантность формы записи дифференциалов.
Теорема Ферма о значении производной в экстремальной точке.
Теорема Ролля о нулях производной.
Формулы конечных приращений Лагранжа и Коши.
Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей.
Формула Тейлора для полиномов.
Формула Тейлора для n-раз дифференцируемой функции с остатком Пеано.
Остаток формулы Тейлора по Лагранжу.
Разложение в строку Тейлора функции (1+x)
.Разложение в строку Тейлора функции ex и ln(1+x).
Разложение в строку Тейлора функции sin(x) , cos(x) , arctg(x).
Интерполяционная формула Лагранжа и ее остаток.
Исследование функции на монотонность с помощью производной.
Исследование функции на выпуклость с помощью производной.
Неопределенный интеграл, теорема о примитивных одной функции.
Неопределенное интегрирование заменой переменных и по частям.
Интегральные суммы Римана, необходимое условие интегрируемости.
Линейность интеграла Римана, интегрирование неравенства.
Суммы Дарбу и их свойства.
Критерий интегрируемости по Риману.
Аддитивность интеграла Римана.
Теорема Барроу.
Формула Ньютона-Лейбница.
Принцип сравнения несобственных интегралов.
Абсолютно и условно сходящиеся несобственные интегралы.
Длина кривой и ее вычисление.
Вычисление площадей и объемов некоторых фигур посредством интеграла.