- •1.Элементы комбинаторики: размещения, перестановки, сочетания.
- •2.Случайный эксперимент. Примеры.
- •3. Случайные события. Виды случайных событий.
- •6. Относительная частота.
- •7. Теорема сложения вероятностей. Привести пример.
- •8. Зависимые и независимые события.
- •9.Формула полной
- •10. Схема Бернулли. Формула Бернулли.
- •12. Локальная формула Муавра-Лапласа.
- •13. Интегральная формула
- •14. Случайная величина. Виды случайных величин.
- •15. Дискретная случайная величина. Ряд распределения.
- •17. Математическое ожидание дискретной св и его смысл.
- •18. Дисперсия дискретной случайной
- •20. Распределение Пуассона и его числовые
- •21. Непрерывные случайные величины.
- •25. Показательный закон распределения. Привести пример.
- •27. Система двух дискретных св. Функция распределения и её свойства.
- •28. Безусловные законы распределения составляющих системы св
- •29.Корреляционный момент и коэффициент корреляции. Свойства коэффициента корреляции.
- •30. Основные задачи математической статистики.
- •31. Генеральная и выборочная совокупности (гс и вс). Свойство репрезентативности выборки.
- •32. Статистический ряд, интервальный статистический ряд, статистическое распределение.
- •33. Полигон и гистограмма статистического ряда.
- •34. Эмпирическая функция распределения и её основные свойства.
- •35. Статистическая оценка неизвестных параметров распределения. Виды оценок.
- •36. Классификация точечных оценок (состоятельные, несмещённые, эффективные).
- •37.Выборочное среднее и свойство устойчивости среднего.
- •38. Выборочная оценка дисперсии. Несмещённая оценка дисперсии.
- •43. Эмпирическая линейная регрессия.
- •44. Примеры задач линейного программирования.
- •45. Общая и каноническая злп. Переход от общей задачи к канонической.
- •46. План злп, область допустимых планов, базисный
- •47. Графический метод решения злп.
- •48. Симплекс-метод решения злп: идея метода и построение первоначального базисного плана. Симплексная таблица.
- •49.Симплекс-метод решения злп: переход к новому плану.
- •50. Метод искусственного базиса (м-задача)
- •51. Транспортная задача. Математическая постановка задачи.
- •52. Условие разрешимости тз. Закрытая модель тз
- •53. Построение первоначального опорного плана тз
- •54. Условия оптимальности опорного плана. Метод потенциалов.
- •55. Циклы в транспортной задаче. Построение нового опорного плана.
- •56. Прямая и двойственная задачи.
- •57. Связь между решениями прямой и двойственной задачи (основные теоремы)
- •58. Геометрическая интерпретация двойственной задачи.
- •59. Нахождение решения двойственной задачи.
- •60. Экономическая интерпретация двойственных задач.
58. Геометрическая интерпретация двойственной задачи.
Если число переменных впрямой и двойственной задачах, образующих данную пару, равно двум, то, используя геометрическую интерпретацию задачи линейного программирования, можно легко найти решение данной пары задач. При этом имеет место один из следующих трех взаимно исключающих друг друга случаев: 1) обе задачи имеют планы; 2) планы имеет только одна задача; 3) для каждой задачи двойственной пары множество планов пусто.
59. Нахождение решения двойственной задачи.
. Рассмотрим пару двойственных задач – основную задачу линейного программирования (1) и двойственную к ней задачу (2)
Предположим, что с помощью симплексного метода найден оптимальный план X* задачи (1) и этот план определяется базисом, образованным векторами .
Обозначим через вектор-строку, составленную из коэффициентов при неизвестных в целевой функции задачи (1), а через – матрицу, обратную матрице Р,составленной из компонент векторов базиса. Тогда имеет место следующее утверждение.Если основная задача линейного программирования имеет оптимальный план X*, то является оптимальным планом двойственной задачи.
Таким образом, если найти симплексным методом оптимальный план задачи (1), то, используя последнюю симплекс–таблицу, можно определить и и с помощью соотношения найти оптимальный план двойственной задачи (2).
В том случае, когда среди векторов , составленных из коэффициентов при неизвестных в системе уравнений (1), имеется т единичных, указанную матрицу образуют числа первых т строк последней симплекс–таблицы, стоящие в столбцах данных векторов. Тогда нет необходимости определять оптимальный план двойственной задачи умножением на , поскольку компоненты этого плана совпадают с соответствующими элементами (m+1)–йстроки столбцов единичных векторов, если данный коэффициент , и равны сумме соответствующего элемента этой строки и если
Сказанное выше имеет место и для симметричной пары двойственных задач. При этом так как система ограничений исходной задачи содержит неравенства вида “ ”, то компоненты оптимального плана двойственной задачи совпадают с соответствующими числами (m+1)–й строки последней симплекс–таблицы решения исходной задачи. Указанные числа стоят в столбцах векторов, соответствующих дополнительным переменным
60. Экономическая интерпретация двойственных задач.
Для любых допустимых планов и прямой и двойственной ЗЛП справедливо неравенство ,т.е. – основное неравенство теории двойственности. Теорема (критерий оптимальности Канторовича). Если для некоторых допустимых планов и пары двойственных задач выполняется неравенство , то и являются оптимальными планами соответствующих задач. Теорема (малая теорема двойственности). Для существования оптимального плана любой из пары двойств-ых задач необходимо и достаточно существование допустимого плана для каждой из них. Теорема. Если одна из двойственных задач имеет оптимальное решение, то и другая имеет оптимальное решение, причем экстремальные значения целевых функций равны: . Если одна из двойственных задач неразрешима вследствие неограниченности целевой функции на множестве допустимых решений, то система ограничений другой задачи противоречива. Экономическое содержание первой теоремы двойственности состоит в следующем: если задача определения оптимального плана, максимизирующего выпуск продукции, разрешима, то разрешима и задача определения оценок ресурсов. Причем цена продукции, полученной при реализации оптимального плана, совпадает с суммарной оценкой ресурсов. Совпадение значений целевых функций для соответствующих планов пары двойственных задач достаточно для того, чтобы эти планы были оптимальными. Это значит, что план производства и вектор оценок ресурсов являются оптимальными тогда и только тогда, когда цена произведенной продукции и суммарная оценка ресурсов совпадают.
Теорема (о дополняющейнежесткости). Для того, чтобы планы и пары двойственных задач были оптимальны, необходимо и достаточно выполнение условий: (1) (2) Условия (1), (2) называются условиями дополняющей нежесткости. Из них следует: если какое-либо ограничение одной из задач ее оптимальным планом обращается в строгое неравенство, то соответствующая компонента оптимального плана двойственной задачи должна равняться нулю; если же какая-либо компонента оптимального плана одной из задач положительна, то соответствующее ограничение в двойственной задаче ее оптимальным планом должно обращаться в строгое равенство. Экономически это означает, что если по некоторому оптимальному плану производства расход i-го ресурса строго меньше его запаса , то в оптимальном плане соответствующая двойственная оценка единицы этого ресурса равна нулю. Если же в некотором оптимальном плане оценок его i-я компонента строго больше нуля, то в оптимальном плане производства расход соответствующего ресурса равен его запасу. Отсюда следует вывод: двойственные оценки могут служить мерой дефицитности ресурсов. Дефицитный ресурс (полностью используемый по оптимальному плану производства) имеет положительную оценку, а ресурс избыточный (используемый не полностью) имеет нулевую оценку. Теорема (об оценках). Двойственные оценки показывают приращение функции цели, вызванное малым изменением свободного члена соответствующего ограничения задачи математического программирования.