18. Сортировка списков путем слияния.

Сортировка списков путем слияния

Для получения упорядоченного списка B' последовательность значений В= разделяют на N списков В1=, B2=,...,Bn=, длина каждого из которых 1. Затем осуществляется функция прохода, при которой М>=2 упорядоченных списков B1,B2,...,Bm заменяется на М/2 (или (М+1)/2) упорядоченных списков, B(2i-1)-oго и B(2i)-ого ( 2i<=M ) и добавлением Вm при нечетном М. Проход повторяется до тех пор пока не получится одна последовательность длины N.

Приведем пример сортировки списка путем использования слияния, отделяя последовательности косой чертой, а элементы запятой.

Пример:

9 / 7 / 18 / 3 / 52 / 4 / 6 / 8 / 5 / 13 / 42 / 30 / 35 / 26; 7,9 / 3,18 / 4 / 52 / 6 / 8 / 54 / 13 / 30 / 42 / 26 / 35; 3,7,9,18 / 4,6,8,52 / 5,13,30,42 / 26,35; 3,4,6,7,8,9,18,52 / 5,13,26,30,35,42; 3,4,5,6,7,8,9,13,18,26,30,35,42,52. Количество действий, требуемое для сортировки слиянием, равно Q=N*log2(N), так как за один проход выполняется N сравнений, а всего необходимо осуществить log2(N) проходов. Сортировка слиянием является очень эффективной и часто применяется для больших N, даже при использовании внешней памяти.

Функция smerge упорядочивает массив s сортировкой слиянием, используя описанную ранее функцию merge.

/* сортировка слиянием */ double *smerge (double *s, int m, int n) { int l,low,up; double *merge (double *, int, int, int); l=1; while(l<=(n-m)) { low="m;" up="m-1;" while (l+up < n) { up="(low+2*l-1" < n) ? (low+2*l-1) : n ; merge (s,low,up,l); low="up-1;" } l*="2;" } return(a); } Для сортировки массива путем слияния удобно использовать рекурсию. Составим рекурсивную функцию srecmg для сортировки массива либо его части. При каждом вызове сортируемый массив делится на две равных части, каждая из которых сортируется отдельно, а затем происходит их слияние/

/* рекурсивная сортировка слиянием 1/2 */ double *srecmg (double *a, int m, int n) { double * merge (double *, int, int, int); double * smerge (double *, int, int); int i; if (n>m) { i=(n+m)/2; srecmg(a,m,i); srecmg(a,i+1,n); merge(a,m,n,(n-m)/2+1); } return (a); }

19. Быстрая сортировка.

Быстрая сортировка состоит в том, что список В= реорганизуется в список B',,B", где В' - подсписок В с элементами, не большими К1, а В" - подсписок В с элементами, большими К1. В списке B',,B" элемент К1 расположен на месте, на котором он должен быть в результирующем отсортированном списке. Далее к спискам B' и В" снова применяется упорядочивание быстрой сортировкой. Приведем в качестве примера сортировку списка, отделяя упорядоченные элементы косой чертой, а элементы Ki знаками <и>.

Пример:

9, 7, 18, 3, 52, 4, 6, 8, 5, 13, 42, 30, 35, 26 7, 3, 4, 6, 8, 5/ <9>/ 18, 52, 13, 42, 30, 35, 26 3, 4, 6, 5/<7>/ 8/ 9/ 13/ <18>/ 52, 42, 30, 35, 26 <3>/ 4, 6, 5/ 7/ 8/ 9/ 13/ 18/ 42, 30, 35, 26/ <52> 3/ <4>/ 6, 5/ 7/ 8/ 9/ 13/ 18/ 30, 35, 26/ <42>/ 52 3/ 4/ 5/ <6>/ 7/ 8/ 9/ 13/ 18/ 26/ <30>/ 35/ 42/ 52 Время работы по сортировке списка методом быстрой сортировки зависит от упорядоченности списка. Оно будет минимальным, если на каждом шаге разбиения получаются подсписки B' и В" приблизительно равной длины, и тогда требуется около N*log2(N) шагов. Если список близок к упорядоченному, то требуется около (N*N)/2 шагов.

Рекурсивная функция quick упорядочивает участок массива s быстрой сортировкой.

/* быстрая сортировка */ double * quick(double *s,int low,int hi) { double cnt,aux; int i,j; if (hi>low) { i=low; j=hi; cnt=s[i]; while(i < j) { if (s[i+1]<=cnt) { s[i]="s[i+1];" s[i+1]="cnt;" i++; } else { if (s[j]<="cnt)" { aux="s[j]"; s[j]="s[i+1]"; s[i+1]="aux"; } j--; } } quick(s,low,i-1); quick(s,i+1,hi); } return(s); } Здесь используются два индекса i и j, проходящие части массива навстречу друг другу (см. рис.30). При этом i всегда фиксирует разделяющий элемент cnt=s[low], слева от которого находятся числа, не большие cnt, а справа от i - числа, большие cnt. Возможны три случая: при s[i+1]<=cnt; при s[i+1]>cnt и s[j]<=cnt; при s[i+1]>cnt и s[j]>cnt. По окончании работы i=j, и cnt=s[i] устанавливается на своем месте.

Рис.30. Схема быстрой сортировки.

Быстрая сортировка требует дополнительной памяти порядка log2(N) для выполнения рекурсивной функции quick (неявный стек).

Оценка среднего количества действий, необходимых для выполнения быстрой сортировки списка из N различных чисел, получена как оценка отношения числа различных возможных последовательностей из N различных чисел, равного N!, и общего количества действий C(N), необходимых для выполнения быстрой сортировки всех различных последовательностей. Доказано, что C(N)/N! <2*N*ln(N).