19. Прямая на плоскости: различные виды уравнений, взаимное расположение прямых, угол между прямыми, расстояние от точки до прямой.

Линия на плоскости – это геометрическая место точек обладающих определенным свойством. В декартовой системе координат уравнение линии задается в виде F(x;y)=0

где x и y координаты текущей точки (любая точка). В явном виде уравнение линии задается y=f(x). Полярная система координат: точка О – полюс, Or – полярный луч, φ – угол между отрезком ОМ и полярной осью, r=|OM|.

Уравнение прямой на плоскости. Общее уравнение прямой на плоскости имеет вид: , где – нормальный вектор прямой (перпендикулярный прямой), а коэффициент пропорционален расстоянию от начала координат до прямой.

Уравнение прямой, проходящей через данную точку , имеет вид

или .

В другом виде , где – тангенс угла, образованного прямой и положительным направлением оси Ox, называемый угловым коэффициентом, b – ордината точки пересечения прямой с осью Oy.

Расстояние от точки до прямой находится по формуле

.

20. Способы задания плоскости в пространстве.

Уравнение плоскости. Общее уравнение плоскости имеет вид: , , где – нормальный вектор плоскости (т.е. перпендикулярный плоскости), а коэффициент пропорционален расстоянию от начала координат до плоскости.

Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору , имеет вид

.

Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки , и имеет вид:

.

21. Взаимное расположение плоскостей, угол между плоскостями. Расстояние от точки до плоскости.

L₁: A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0

L₂: A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0

λ₁ || λ₂ <=> N₁ || N₂

λ₁ ≡ λ₂ <=> A₁/ A₂ = B₁/ B₂ = C₁/ C₂ ≠ D₁/ D₂

Если N₁ не || N₂ => λ₁ не || λ₂ - плоскости пересекаются

Угол между двумя плоскостями, имеющими нормальные векторы и , определяется как угол между векторами и по формуле:

.

Расстояние от точки до плоскости вычисляется по формуле .

22. Способы задания прямой в пространстве. Взаимное расположение прямых в пространстве. Угол между прямыми.

1) Каноническое уравнение прямой ( )

2) Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки и , имеет вид

.

3) Параметрическое уравнение прямой

= t

Угол между двумя прямыми и определяется формулой

.

23. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.

λ: Ax+By+Cz+d=0

L:

L || λ  N ┴ S

- условие параллельности прямой и плоскости

L ≡ λ  N ┴ S, L λ ≠ пустому множеству

φ = 90⁰ – φ

cosφ = cos (90⁰ - φ) = sinφ

L ┴ λ  N || S

Точка пересечения прямой и плоскости: Чтобы найти координаты точки пересечения, нужно решить систему состоящий из уравнений плоскости и прямой. Составляя параметрически уравнение прямой можно представить полученные выражения в уравнение плоскости

=> A(mt + x₀) + B(nt + y₀) + C(pt + z₀) + D = 0

Найденные значения подставляются в параметрическое уравнение, тем самым определяется точка в плоскости.

24. Эллипс: вывод уравнения, исследование формы, характеристики.

Эллипс есть множество точек плоскости (см. рис.7б), для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек и (фокусов) постоянна и равна .

Отрезок называется фокусным расстоянием и обозначается через . Середина есть центр эллипса. Прямая, на которой лежат фокусы эллипса, называется первой осью эллипса. Прямая, проходящая через центр эллипса перпендикулярно его первой оси, называется второй осью эллипса. Оси эллипса являются его осями симметрии. Точки пересечения эллипса с осями симметрии называются его вершинами. – большая ось эллипса, – малая ось.

Директрисой эллипса, соответствующей данному фокусу , называется прямая , перпендикулярная первой оси и отстоящая от центра эллипса на расстояние , где – эксцентриситет эллипса.

Каноническое уравнение эллипса в декартовой системе координат: , где и – большая и малая полуоси эллипса, соответственно.