Экзаменационные вопросы по дисциплине «Линейная алгебра и аналитическая геометрия»

1. Матрицы, действия над матрицами и их свойства.

Матрицей размера mxn называется таблица состоящая из mn множества М и содержащая m строк и n столбцов. Элементы множества М называются элементами матрицы. Матрицы обозначаются A,B,C. Элементы матрицы – a_ik. [], ( ), || ||, [a_ik]_mn . матрицы равны если они одинаковых размеров. Матрицей строкой называют матрицу, состоящую из одной строки. Матрицей столбцом - из одного столбца. Матрица, у которой количество столбцов равно количеству строк, называется квадратной матрицей n-ого порядка. Если все недиагональные элементы матрицы равны нулю, то матрицу называют диагональной. Если у диагональной матрицы n-ого порядка на главной диагонали все элементы равны 1, то матрица называется единичной и обозначается Е. Матрица любого размера, все элементы которой равны 0, называется нулевой.

Верхнетреугольная матрица — квадратная матрица, в которой все элементы ниже главной диагонали равны нулю. Нижнетреугольная матрица — квадратная матрица, в которой все элементы выше главной диагонали равны нулю.1)Умножение матрицы на число. Для того, чтобы умножить матрицу на число необходимо умножить на это число каждый элемент матрицы. 2)Сложение 2-х матриц: условие - складывать можно только матрицы одинакового размера. Суммой 2-х матриц А и В называется матрица С=А+В. Для того, чтобы сложить 2 матрицы, необходимо складывать между собой элементы, стоящие на одинаковых местах. 3)Вычитание 2-х матриц: операция аналогична сложению. 4)Умножение 2-х матриц: умножение А на В возможно тогда и только тогда, когда число столбцов А равно числу строк В; произведением матрицы А размера mk на матрицу В размера kn называется матрица С размера mn, каждый элемент которой равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы А на соответствующие элементы j-ого столбца матрицы В. 5)Транспонирование. транспонирование-операция, в результате которой строчки и столбцы матрицы меняются местами. 6) Возведение матрицы в степень, действия возможно только для квадратных матриц.

Элементарные преобразования матрицы: 1) Любые строки можно менять местами; 2) Любую строку можно умножать на число отличные от 0; 3) К элементам какой либо строки можно прибавлять соответствующие элементы другой строки, умноженные на одно и то же число. 2 матрицы А и В называются эквивалентными, если одна из них получается из другой с помощью элементарных преобразований. (А~В) При помощи элементарных преобразований любую матрицу можно привести к ступенчатому виду.

2. Определитель второго порядка, свойства.

Квадратной матрице А можно сопоставить в соответствие число называемое определителем (детерминантом) – det A, |A|, ∆A, ∆. Определителем матрицы 1-го порядка А=(а₁₁) является единственный элемент этой матрицы. Определителем 2-го порядка называется число, характеризующее матрицу 2-го порядка, которое находится по следующему правилу: из произведений элементов главной диагонали вычитается произведение элементов второй диагонали матрицы А.

Св-ва: 1) Определитель не изменится, если строки и столбцы поменять местами (det A = det A^T); 2) При перестановке 2 строк (столбцов) определитель меняет знак; 3) Если в определители имеются 2 одинаковые строки (столбцы), то он равен нулю; 4) Общий множитель элемент какой либо строки (столбца) можно выносить за знак определителя; 5) Если все элементы какой либо строки (столбца) пропорциональный соответствующему элементу другой строки (столбца) то определитель = 0; 6) Если k элемент какой либо строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца) умноженные на любое число, то определитель не изменится. Замечание: С помощью рассмотренных свойств определитель можно привести к ступенчатому виду, тогда он будет = произведению элементов стоящих на главной диагонали.