5

Лекция №8

Тема: Алгебра логики

План:

1. Эквивалентность функций

2. Реализация функций формулами

3. Эквивалентность формул и тождества

4. Упрощение формул

1. Эквивалентность функций

По таблицам 2 и 3 легко заметить, что некоторые функции никак не зависят от значений некоторых своих аргументов. Так, например, функции g₁, g₄, f₁, f₁₆ не зависят от значений любого из аргументов, это константы ноль и единица. Функции f₄ и f₁₃ не зависят от значений аргумента у, а функции f₆ и f₁₁ – не зависят от аргумента х. Это позволяет выразить их как функции меньшего числа аргументов путем удаления аргумента, не влияющего на значения функции. Такой аргумент называют несущественной переменной для функции.

В противовес несущественным переменным, аргументы, от значений которых существенно зависят значения функции, называются существенными переменными. Таким образом, если переменная x_i является существенной для функции f(x₁,x₂,…,x_n), то обязательно существует такой набор значений остальных переменных ₁, ₂,…, _i-1, _i+1, _i+2,…, _n, что значение функции при x_i=1 не равно значению функции при x_i=0, т.е. . Для несущественной переменной такого набора не существует.

Две функции f₁ и f₂ называются эквивалентными или равными (обозначается это традиционно f₁ = f₂), если одна может быть получена из другой путем удаления или введения несущественной переменной.

Процедура удаления несущественной переменной x_i на практике заключается в удалении всех строк вида: ₁, ₂,…, _i-1, 1, _i+1,…, _n (т.е. таких строк, где переменная x_i равна 1) и столбца x_i из таблицы истинности функции. Введение несущественной переменной – обратный процесс.

Пример: пусть функция f(x,y,z) задана следующей таблицей истинности:

Таблица 1

	x	y	z	f(x,y,z)
	0	0	0	1
	0	0	1	1
	0	1	0	1
	0	1	1	1
	1	0	0	0
	1	0	1	1
	1	1	0	0
	1	1	1	1

Из таблицы 4 видно, что значения функции не зависят от значений переменной у, поскольку на всех фиксированных наборах значений для x и z: (0,0), (0,1), (1,0) и (1,1), – значения функции при у=0 и у=1 одинаковы. Тем самым, у – несущественная переменная, и её можно удалить. Для этого вычеркнем из таблицы 4 все помеченные строки, где у=1, и столбец у. Оставшиеся строки и столбцы таблицы будут определять функцию от двух переменных: х и z. Оформим результат в виде новой таблицы 5. Эта таблица является таблицей истинности элементарной функции. Это импликация. Итак, исходная функция эквивалентна импликации.

Таблица 2

x	z	f(x,z)
0	0	1
0	1	1
1	0	0
1	1	1

Рассмотрим теперь процедуру включения несущественной переменной. Для этого в таблицу 5 добавим новый столбец у, расположив его между столбцами х и z, и 4 новых строки: две в середине и две в конце таблицы. Скопируем значения переменных х и z, а также значения функции из двух верхних строк в добавленные ниже них, и из двух следующих строк в последние две. Заполним значения в столбце у так, чтобы в старых строках оно было равно 0, а в добавленных – 1. Получим таблицу истинности эквивалентной функции от большего числа переменных, совпадающую с таблицей 4.