Лекция №5
Тема: Алгебраические действия общего типа
План:
Основные определения теории графов.
Способы задания графов.
Теоремы о степенях вершин и изоморфизм графов
Подграфы.
Операции над графами.
1. Основные определения теории графов
Граф – математический объект, описываемый двумя множествами: G=( V, E ), где V – так называемое множество вершин, а E – множество дуг.
Элементами множества дуг являются упорядоченные пары вершин, т.е. E={ ( a, b): aV, bV }, т.о. множество Е является подмножеством декартова произведения VV. Порядок вершин в парах может и не учитываться, тогда элементы множества Е называют ребрами, а сам граф – неориентированным графом, в противном случае – ориентированным или Орграфом. В некоторых случаях рассматриваются так называемые смешанные графы, в них множество Е состоит из элементов обоих видов: дуг и ребер.
Обозначим вершины v1, v2, v3, , а ребра e1, e2, e3, . Вершины vi и vj, определяющие ребро ek, называются концевыми вершинами ребра ek=(vi, vj), а в случае орграфа – началом и концом дуги ek соответственно. Говорят также, что ребро ek (дуга) инцидентно вершинам vi, vj или, что вершины vi, vj инцидентны ребру (дуге) ek. Такие вершины называют смежными. Ребра называют смежными в случае, когда они имеют общую концевую вершину. Например, ek=(vi, vj) и em=(vi, vl) – смежные ребра.
В множестве ребер графа допускается более, чем одно ребро с одинаковыми концевыми вершинами. Такие ребра называются параллельными или кратными. Например: ek=(vi, vj) и em=(vi, vj) – кратные ребра.
Если обе концевые вершины ребра совпадают, то такое ребро называется петлей. Например: ek=(vi, vi) – петля.
Граф без петель и параллельных ребер называется простым, в противном случае – мультиграфом.
Граф, не имеющий ребер, называется пустым, а не имеющий вершин (а значит и ребер) – нуль‑графом.
Простой граф, у которого любая пара вершин смежна, называется полным.
Количество вершин в графе называется порядком графа.
Степенью или валентностью вершины называется число инцидентных ей ребер. Будем обозначать степень вершины vi – deg(vi). Вершина нулевой степени называется изолированной. Вершина степени 1 называется висячей, а ребро, инцидентное ей, называется висячим ребром. Заметим, что петля добавляет двойку к степени вершины.
2. Способы задания графов
Рассмотрим три способа задания графов: графический, аналитический и матричный.
1) Графический способ.
Вершины изображают точками на плоскости, а ребра – линиями, соединяющими соответствующие точки. Для изображения дуги используется линия со стрелкой, указывающей направление от начала к концу дуги.
Н а рисунке 12 изображен смешанный граф с вершинами v1, v2,, v6, ребрами e1, e2, e3, e5 и дугой e4. Смежные вершины v1, v2, инциденты ребру e1. Вершины v1, v3, инциденты параллельным ребрам e2 и e3. Вершине v4 инциденты петля e5 и дуга e4, причем v4 является началом дуги e4, а v5 – концом этой дуги. Степень вершины v1 равна 3, вершины v2 – 1, вершины v3 – 2, вершины v4 – 3, вершины v5 – 1, вершины v6 – 0. Таким образом, вершины v2 и v5 – висячие, а вершина v6 – изолированная. В случае дуги e4 точнее было бы говорить о полустепенях исхода и захода вершин v4 и v5, а именно: полустепень исхода вершины v4 равна 3, вершины v5 – 0, полустепень захода вершины v4 равна 2, вершины v5 – 1.
2) Аналитический способ.
Граф задают перечислением элементов множества вершин и множества ребер. Для графа, изображенного на рисунке 12, эти множества: V={v1, v2, v3, v4, v5, v6} и Е={e1, e2, e3, e4, e5}, где e1=(v1, v2), e2=(v1, v3), e3=(v1, v3), e4=(v4, v5), и e5=(v4, v4).
3) Матричный способ.
Имеется несколько вариантов задать граф матрицей. Наиболее употребимыми являются матрица инциденций и матрица смежности.
а) Матрица инциденций – это прямоугольная матрица, число строк которой равно числу вершин, а число столбцов – числу дуг (ребер) графа. Элементы этой матрицы определяются следующим образом:
Таким образом, для графа на рисунке 12 матрица инциденций такова:
|
|
e1 |
e2 |
e3 |
e4 |
e5 |
|
v1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
|
v2 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
I= |
v3 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
|
v4 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
|
v5 |
0 |
0 |
0 |
-1 |
0 |
|
v6 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
По этой матрице легко судить о наличии в графе параллельных ребер (два одинаковых столбца), петли (одна единица в столбце), дуги (значения разных знаков в столбце), изолированной вершины (нулевая строка), висячих вершин (одно ненулевое значение в строке).
б) Матрица смежности вершин – это квадратная матрица, размер которой определяется числом вершин в графе. Элементы этой матрицы определяются так: . Если в графе имеются параллельные ребра, то соответствующий элемент матрицы смежности полагают равным числу этих ребер. Так матрица смежности для графа на рисунке 12 такова:
|
|
v1 |
v2 |
v3 |
v4 |
v5 |
v6 |
|
v1 |
0 |
1 |
2 |
0 |
0 |
0 |
|
v2 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
S= |
v3 |
2 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
v4 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
|
v5 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
v6 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
По виду этой матрицы также несложно судить о наличии в графе кратных ребер, дуг, петель, висячих и изолированных вершин.