3. Теоремы о степенях вершин и изоморфизм графов

Теорема 1: Сумма степеней вершин в неориентированном графе четна и равна удвоенному числу ребер.

Аналогичная теорема может быть сформулирована и для орграфов: сумма полустепеней исхода всех вершин равна сумме их полустепеней захода и равна числу дуг орграфа.

Теорема 2:Число вершин нечетной степени в любом графе четно.

Два графа G₁ и G₂ называются изоморфными, если существует биективное отображение между множествами их вершин и ребер такое, что соответствующие друг другу по этому отображению ребра графов G₁ и G₂ инцидентны соответствующим друг другу по этому же отображению парам вершин этих графов.

Согласно определению, графы, изображенные на рисунке 13, изоморфны. Соответствие между множествами вершин и ребер таково:

для вершин:

для ребер:

4. Подграфы

Подграфом графа G=(V, E) называется граф G=(V, E), у которого множества вершин и ребер V и E являются такими подмножествами множеств V и E соответственно, что ребро (v_i, v_j)E тогда и только тогда, когда вершины v_i и v_jV. Граф G называется собственным подграфом графа G, если V V и E E. Если все вершины графа G присутствуют в его подграфе G, т.е. V=V, то G называется остовным подграфом G.

Подграф без изолированных вершин называется реберно-порожденным подграфом. Множество вершин реберно-порожденного подграфа полностью определяется множеством его ребер.

Если же множество вершин подграфа полностью определяет множество его ребер, то такой подграф называется вершинно-порожденным. Заметим, что множество ребер вершинно-порожденного подграфа является таким максимальным подмножеством множества ребер графа, что концевые вершины всех этих ребер принадлежат подграфу.

На рисунке 14 изображены: (а) исходный граф; (б) собственный подграф; (в) остовный подграф; (г) реберно-порожденный подграф; (д) вершинно-порожденный подграф.

5. Операции над графами

1) Объединение двух графов G=(V, E) и G=(V, E) есть граф S=(V∪V,E∪E).

На рисунке 15 показано объединение двух графов.

2 ) Пересечение двух графов G=(V, E) и G=(V, E) есть граф S=(V∩V,E∩E). См. рис.16.

4 ) Относительное дополнение подграфа до графа – это граф, в который входят те ребра основного графа, которых не было в подграфе, а множество вершин совпадает с множеством вершин основного графа. См. рис.18.

3) Кольцевая сумма двух графов GG есть граф, не имеющий изолированных вершин и состоящий только из ребер, присутствующих либо в G, либо в G, но не в обоих графах одновременно. Т.о. это ЕЕ реберно-порожденный граф. См. рис.17.

5 ) Абсолютное дополнение – это дополнение до полного графа на том же множестве вершин. Так для графа, изображенного в правой части равенства на рис.18, абсолютное дополнение будет изображаться так, как показано на рис.19.

6 ) Удаление ребра – ребро удаляется из графа, а инцидентные ему вершины остаются. См.рис.20.

7) Удаление вершины – вершина удаляется из графа вместе со всеми инцидентными ей ребрами. См. рис.21.

8 ) Отождествление (замыкание) вершин – при замыкании двух вершин, эти вершины удаляются из графа и заменяются одной новой, при этом ребра, инцидентные исходным вершинам, теперь будут инцидентны новой вершине.

9 ) Стягивание ребра – ребро удаляется, а его концевые вершины отождествляются. На рисунке 23 последовательно стягиваются ребра е₁, е₃, е₂.