- •1.Определителем – го порядка или определителем квадратной матрицы – го порядка называют алгебраическую сумму всех членов определителя данной матрицы, взятых со своими знаками.
- •2. Правило крамера
- •3.Понятие вектора.
- •19 Парабола
- •22. Числовая последовательность.
- •Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности
- •23. Предел последовательности
- •24. Предел функции
- •26. Бесконечно большая (величина) — числовая функция или последовательность, которая стремится к бесконечности определённого знака.
1.Определителем – го порядка или определителем квадратной матрицы – го порядка называют алгебраическую сумму всех членов определителя данной матрицы, взятых со своими знаками.
СВОЙСТВО 1. Величина определителя не изменится, если все его строки заменить столбцами, причем каждую строку заменить столбцом с тем же номером, то есть
.
СВОЙСТВО 2. Перестановка двух столбцов или двух строк определителя равносильна умножению его на -1. Например, .
СВОЙСТВО 3. Если определитель имеет два одинаковых столбца или две одинаковые строки, то он равен нулю.
СВОЙСТВО 4. Умножение всех элементов одного столбца или одной строки определителя на любое число k равносильно умножению определителя на это число k. Например, .
СВОЙСТВО 5. Если все элементы некоторого столбца или некоторой строки равны нулю, то сам определитель равен нулю. Это свойство есть частный случае предыдущего (приk=0).
СВОЙСТВО 6. Если соответствующие элементы двух столбцов или двух строк определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.
СВОЙСТВО 7. Если каждый элемент n-го столбца или n-й строки определителя представляет собой сумму двух слагаемых, то определитель может быть представлен в виде суммы двух определителей, из которых один в n-м столбце или соответственно в n-й строке имеет первые из упомянутых слагаемых, а другой - вторые; элементы, стоящие на остальных местах, у вех трех определителей одни и те же. Например,
СВОЙСТВО 8. Если к элементам некоторого столбца (или некоторой строки) прибавить соответствующие элементы другого столбца (или другой строки), умноженные на любой общий множитель, то величина определителя при этом не изменится. Например,
.
СВОЙСТВО 9. Определитель
равен сумме произведений элементов какого-либо столбца (или строки) на их алгебраические дополнения.
Иначе говоря, имеют место следующие равенства:
, ,
, ,
, .
2. Правило крамера
Рассмотрим систему 3-х линейных уравнений с тремя неизвестными:
Определитель третьего порядка, соответствующий матрице системы, т.е. составленный из коэффициентов при неизвестных,
называется определителем системы.
Составим ещё три определителя следующим образом: заменим в определителе D последовательно 1, 2 и 3 столбцы столбцом свободных членов
Тогда можно доказать следующий результат.
Теорема (правило Крамера). Если определитель системы Δ ≠ 0, то рассматриваемая система имеет одно и только одно решение, причём
Доказательство. Итак, рассмотрим систему 3-х уравнений с тремя неизвестными. Умножим 1-ое уравнение системы на алгебраическое дополнение A11 элемента a11, 2-ое уравнение – на A21 и 3-е – на A31:
Сложим эти уравнения:
Рассмотрим каждую из скобок и правую часть этого уравнения. По теореме о разложении определителя по элементам 1-го столбца
.
Далее рассмотрим коэффициенты при x2:
Аналогично можно показать, что и .
Наконец несложно заметить, что
Таким образом, получаем равенство: .
Следовательно, .
Аналогично выводятся равенства и , откуда и следует утверждение теоремы.
Таким образом, заметим, что если определитель системы Δ ≠ 0, то система имеет единственное решение и обратно. Если же определитель системы равен нулю, то система либо имеет бесконечное множество решений, либо не имеет решений, т.е. несовместна.