18.Равномерное распределение и его числовые характеристики.

Опр: НСВ х наз-ся распред по равномерному закону на отр. АВ с параметрами а и b, если ее плотность распред вероятностей равна постоянной вел-не на этом отрезке и равна нулю вне этого отрезка:

f(x)=

Найдем постоянную с использ. условия нормировки;

с- ?

f(x) = ;

Ф-я распределения равномерной СВ Х имеет вид F(x) =

График функций распред и плотности имеют вид

Числовые хар-ки равномерного распределения опред. равенствами

m(x) =

D=

Вероятность попадания равномерной случ. величины в интервал α, b € [a, b]

опред выражением P ( x € ( α, b) €[ a,b] = P ( a<x<b) = причем знаки неравенств могут быть и не строгими;

Примечание: Равномерное распределение не имеет моды, а его медиана и мат. ожидание равны между собой;

19. Показательное распределение и его числовые характеристики.

Н епрерывная CВ X называется распределительной по показательному закону с параметром λ > 0, если её плотность распределения вероятностей определяется формулой:

f(x)=

    

График плотности показательного распределения:

f(x)

x

F(x)=

Основные числовые хар-ки показателей определяются формулами:

1. m_x=

2. D_x= => λ=

3. σ_x=

20. Нормальный закон распределения и его числовые характеристики. Функция Лапласа.

Непрерывной СВ X наз. Распределённая по нормальному закону (по закону Гаусса) с параметрами m_x и σ_x , если её плотность распр-я вероятностей определяется выражением:

f(x)=

Фун-ция распределения определяется:

F(x)=

Г рафик плотности распределения наз. нормальной кривой/кривой Гаусса и имеет вид:

Вероятность попадания СВ в интервал (α,β):

где - ф-я Лапласса

Следствие: P(|x- m_x|<ε)= )

21.Неравенства Маркова и Чебышева и различные формы их записи. Формулировка нер-ва Маркова Если среди зн СВ Х нет отриц, то вер-ть того, что она примет какое-н зн, превосходящее полож число А, не больше дроби  , т.е. ,  а вер-ть того, что она примет какое-н зн, не превосходящее полож числа А, не меньше  , т.е. 1ая форма нер-ва Чебыш Вер-ть того, что отклонение СВ Х от ее матеможидания, а произойдет по абсолютной величине постоянное число Е>0, не больше  , т.е. 2ая форма нер-ва Чебыш Вер-сть того, что отклонение СВ Х от ее матеможидания, а не произойдет по абсолютной величине постоянного числа Е>0, не меньше  , т.е. Говорят,что послед-сть СВ   сходится по вер-ти к Св   при  , и пишут  , если для люб 

22.Теоремы Чебышева, Бернулли и Пуассона.

Теорема Чебышева:

Если свободный член X_1……X_n попарно независимы, имеют равномерно-ограниченные дисперсии P(X₁)=C…..P(X_n)=C и одинаковые вероятности M(X₁)=…=M(X_n), то среднее арифметическое данных величин сходятся по вероятности и их мат. ожидания. , где m_x=M(X₁)….M(X_n)

Доказательство:

1.Рассмотрим CВ Ч является средним арифметическим значением X= задан. CВ и найдём для неё мат.ожидание

2.Воспользуемся неравенством Чебышева.

=> прим. его для суммы СВ: ; имеем =˃используя свойства дисперсии получим:

; переходим в последнем неравенстве к пределу при n→∞: и т.д.

Обобщённая теория Чебышева:

Если попарно независимые и одинаково распределённые величины x₁…x₂, имеют ограниченные одним и тем же числом дисперсии D(x₁)=C,…,D(x_n)≤C и конечные не равные между собой математические ожидания H(x₁)≠…≠H(x_n), то среднее арифметическое данных CВ сходится на вероятности к среднему арифметическому их мат.ожидания:

Доказательство аналогично пред идущему.

Теорема Бернулли:

Если в каждом из n независимых испытаний вероятность появления некоторых событий А, если постоянная величина равна Р в каждом из n испытаний, то при достаточно большом числе испытаний , часто появления данного события сходится к вероятности его появления по условию сходимости по вероятности:

m-число появлений события А в n испатаниях.