Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
тервер. полностью.docx
Скачиваний:
4
Добавлен:
03.08.2019
Размер:
297.45 Кб
Скачать

5.Статистическое, классическое, аксиоматическое и геометрическое опред вероятности случайного события.

Классической вероятностью наступления события А называется величина, обозначаемая Р(А) и определяемая как отношение числа благоп. к событию А исходом эк. к числу всех исходом данного эксперимента: Р(А) =

Геометрический подход предполагает, что число рановозмож. экспериментов бесконечно и несчетно. Будем интерпретировать элементарные события как точки на прямой , на плоскости или в пространстве. Тогда множество элемен. событий Ω предст. собой подмнож. соответ. пространства,которые будем предпол. огранич. и измеримым.

Геометрической вероятностью наступления случ. События наз. Величина, обозначаемая Р(А) и равная отношению геометрической меры(длины,площади или объема) благоп. к даннму событию к геометрич. Мере всего множ-ва возможных экспериметнов : Р(А)=

6. Теоремы сложения вероятностей событий.

Теорема 1. Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей данн событий:

Р(А+В)=Р(А)+Р(В), А и В – несовместные события

Следствия из теоремы:

1. Вероятность суммы счётного множестванесовместных событий равно сумме вероятностей данных событий: Р(А1+…+An)=P(A1+…+P(An)  P ,

Где А1,…,An – повторно несовместные

2. Сумма вероятностей двух противоположных событий=1:

Р(А)+Р(Ā)=1, где А и Ā – два противоположных события

Теорема 2 Вероятность суммы двух совместных событий равно сумме вероятностей данных событий без вероятности их совместного наступления.

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ), где А и В – совместные события.

Следствия из теоремы:

1. Вероятность суммы счётного множества совместных событий определяются формулой:

Р(А1+…+An)+Р(А1)+…+Р(An)-Р(А1 А2)- Р(А1 А3)-…- Р(Аn-1 Аn)+ Р(А1 А2 А3)+ Р(А1 А2 А4)+…+ Р(Аn-2 Аn-1 Аn)- Р(А1 А2 А3А4)-…- Р(Аn-3 Аn-2 Аn-1Аn)+…+(-1) Р(А1 А2 …Аn)

А1 …Аn – совместные

2. Вероятность суммы трёх совместных событий равна сумме вероятностей данных событий и сумме вероятностей их совместного наступления без вероятностей попарных произведений событий:

Р(A+B+C)+P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)

А, В и С – совместные события

7.Теоремы умножения вероятностей событий. Условная вероятность. Независимость событий.

Определение1: Условной вероятностью наступления событ. А в предлож. Что событ. В уже произ. назыв. величина обознач.: Р(А/В) и определяемая как частное отделение вероятности совместного наступлений А и В на вероятность наступившего события В. Р(А/В) = Р(АВ)/Р(А) Аналагично опред. условн. вероятность наступления события В в предполож. Что событие А уже наступило: Р(В/А)= Р(АВ)/Р(А)

Определение2: 2 события А и В назыв. независимыми в данном экспер., если возможн. наступления не зависит от того произошло 2 события или нет и назыв. зависимыми в противном случае.

Теорема1: Вероятность произведений 2-ух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность второго события при усл. Что первое событие уже произошло: Р(АВ)=Р(А)×Р(В/А)=Р(В)×Р(А/В)

Следствие:

1) Вероятность произведения n событий А1 ..... Аn определяется формулой:

Р(А1 ×…× Аn) = Р(А1)Р(А21)×Р(А31×А2)×…×Р(Аn/A1× An-1) где Р(Аk/A1….Ak-1) – вероятн. Появл. cоб. Ak при усл. что соб. A1, А2 ….Ak-1 в этом эксперим. уже произошли.

2) Для независимых событий А и В спроведл. отношения: Р(А/В)=Р(А), Р(В/А)=Р(В)

3) Теорема2 Вероятность произведения 2-ух независимых событ. равна произвед. Вероятн. Данных событий: Р(АВ)=Р(А)×Р(В)

4) Вероятность произвед. Счётного множества n незав. Событ. равна произв. Вероятн. Данных событий: Р(А1× … ×Аn)=Р(А1)× Р(А2) … Р(Аn)

5) Вероятность суммы счётного множества совместных событий равна разности между единицей и вероятностью произведения противоположных данному множеству событий:

Р(А1+ .....n)=1 – Р(Ā1× … ×Ān) , где А и т.д. совместн. событ.

8. Основные комбинаторные формулы без повторений и с повторениями.

Определение 1: Набор элементов {xi1,xi2,…,xir} из множества X, т.е. xij є X (j=1,2,…,r) называется выборкой объемом r из n элементов или просто (n,r)-выборкой. Определение 2: (n,r)-выборка называется упорядоченной, если в ней задан порядок следования элементов. Если порядок следования элементов в выборке не является существенным, то такая выборка неупорядоченная.

Определение 3: Упорядоченная (n,r)-выборка, элементы которой попарно различны называется (n,r)-размещением без повторений. Упорядоченная (n,r)-выборка, элементы которой могут повторяться называется (n,r)-размещением с повторением. Обозначения и формулы:         - число (n,r) – размещений без повторений          - число (n,r) – размещений c повторением.     – число перестановок n элементного множества. Рав-ва

 1)            1≤r≤n

2)       1≤r≤n

3)     *     1≤r≤n

4)   , n ≥ 2