Операционное исчисление
1. Преобразование Лапласа. Его свойства.
Пусть
-
функция вещественной переменной t,
равная нулю при
,
а
-
функция комплексной переменной p,
определенная равенством
(1)
(предполагается что интеграл (1) сходится).
Соответствие
называется преобразованием Лапласа.
При этом функцию
называют оригиналом, а
- изображением.
Свойства.
1) Свойство линейности. Если
и
-
изображения, соответствующие оригиналам
и
,
т. е.
и
,
то
для любых комплексных чисел и .
2) Свойство подобия. Если
,
то
.
3) Свойство запаздывания. Если
,
то
.
4) Свойство смещения. Если
,
то
.
5) Дифференцирование оригинала. Если
-
функция конечного роста с показателем
роста
и
,
причем при
существует производная
(также имеющая конечный рост), то
,
где
;
кроме того, если
существуют и имеют конечный рост, то
6) Дифференцирование изображения. Если
-
функция конечного роста с показателем
роста
и
,
то
для p таких, что
.
7) Интегрирование оригинала. Если
-
функция конечного роста с показателем
роста
и
,
то
-
также функция конечно роста и
.
8) Интегрирование изображения. Если
,
то
(при условии, что
сходится).
2. Изображение функций
.
Если , то .
Вывод:
(использована замена переменной
).
3. Линейность изображения.
Если и - изображения, соответствующие оригиналам и , т. е. и , то
для любых комплексных чисел и .
Вывод:
.
4. Теорема смещения.
Если , то .
Вывод:
.
5. Дифференцирование изображения.
Если - функция конечного роста с показателем роста и , то для p таких, что .
Вывод:
Согласно теореме об аналитичности
изображения, функция
дифференцируема и ее производная
находится по формуле:
при p таких, что , где - показатель роста функции . Тем самым справедливость свойства установлена.
6. Изображение производных.
Если - функция конечного роста с показателем роста и , причем при существует производная (также имеющая конечный рост), то , где ; кроме того, если существуют и имеют конечный рост, то
Вывод:
.
(использована формула интегрирования по частям).
7. Свертка функций.
Пусть
и
-
кусочно-непрерывные функции действительной
переменной t, определенные
на
,
и
при
.
Сверткой функций
и
называется функция
,
определенная равенством
Свертку функций
и
обозначают через
.
Операцию вычисления свертки называют
свертыванием.