Дифференциальные уравнения

1. Общее и частное решения диф. уравнения.

Дифференциальным уравнением называется уравнение , которое связывает независимый аргумент х, неизвестную функцию у и ее производные .

Общим решением ДУ называется всякая функция которая подставленная в это уравнение обращает его в верное равенство. Общее уравнение обязательно содержит произвольную постоянную С.

Частное решение ДУ получается из общего решения подстановкой конкретного числового значения вместо постоянной С.

2. Теорема существования и единственности решения задачи Коши.

Пусть функция f(x, y) и ее частная производная непрерывны в некоторой области D плоскости x0y и точка принадлежит области D.

Тогда:

— в некоторой окрестности точки существует решение задачи Коши

— если и два решения задачи Коши, то на .

Геометрически это означает, что если условия теоремы выполнены, то через каждую точку области D проходит единственная интегральная кривая уравнения.

Функции комплексого переменного

1. Производная функции компл. переменной. Условия Коши-Римана.

называется функцией комплексного переменного если одному допустимому значению z поставлено в соответствие одно, несколько или бесконечное множество значений W.

Определение.

Пусть - функция комплексной переменной, определенная в -окрестности точки , и существует предел (1)

Тогда этот предел называется производной функции в точке ; при этом функция называется дифференцируемой в точке .

Условия Коши-Римана.

Пусть у функции вещественная и мнимая части дифференцируемы как функции двух переменных, тогда, для того, чтобы эта функция была дифференцируема как функция комплексного переменного необходимо и достаточно выполнение условий:

Доказательство:

- условия Коши-Римана.

2. Интеграл функции комплексного переменного. Свойства интеграла от аналитич. Функции.

Интегралом от функции вдоль линии j, называется интеграл

Интеграл от функции комплексного переменного равен сумме 2х криволинейных интегралов второго рода от вещественных функции .

-интеграл по замкнутому контуру

Криволинейный интеграл второго рода не зависел от контура j, а определялся начальными и конечными точками.

Интеграл от аналитической функции во первых не зависит от контура интегрирования, а определяется начальной и конечной точкой этого контура.

Интеграл по замкнутой линии целиком лежащей в области D, будет равен 0.

Если аналитическая функция, то для нее справедливы все функции интеграла вещественного переменного.

4. Теорема Коши о вычислении производной.

Если D – односвязная конечная область и - дифференцируемая в каждой точке функция, то для любой замкнутой кусочно-гладкой кривой L, лежащей в области D, интеграл от вдоль L равен нулю, т. е.

Доказательство:

Пусть и - параметрические уравнения замкнутой кривой L. Тогда:

К двум последним интегралам применим формулу Грина

,

справедливую для кусочно-гладкого контура L, ограничивающего область , и функций , частные производные которых непрерывны в области D. Получим (1)

Подынтегральные функции в правой части формулы (1) равны нулю в силу условий Коши-Римана. Теорема Коши доказана при дополнительном предположении, что частные производные непрерывны в D.

5. Ряд Тейлора и Лорана.

Если функция разлагается в ряд , то этот ряд задается коэффициентами , т. е. является рядом Тейлора функции .

Пусть функция аналитична внутри кольца , где . Тогда существует и притом единственный ряд такой, что в каждой точке , где , его сумма равна : (1)

Ряд (1) называется рядом Лорана функции в кольце S.

6. Вычеты функции. Вычисление вычетов.

Пусть - изолированная особая точка функции и - разложение функции в ряд Лорана в окрестности точки . Коэффициент в этом разложении называется вычетом функции в точке и обозначается .

Теорема.

Пусть функция аналитична в области D, за исключением изолированных особых точек, а замкнутый контур L принадлежит вместе со своей внутренностью области D, содержит внутри себя конечное число особых точек и не проходит ни через одну из них. Тогда имеет место равенство: .

7. Вычисление интегралов с помощью вычетов.

Теорема вычетов оказывается особенно полезной для вычисления различных несобственных интегралов.

Если - аналитическая функция во всей верхней полуплоскости , за исключением конечного числа особых точек , лежащих над действительной осью, и если - по меньшей мере двукратная нулевая точка , то

.