Лабораторные работы по электричеству

называется напряженностью электростатического поля в данной точ- ке пространства.

Напряженность является силовой характеристикой электрического поля.

Как следует из (1), вектор напряженности E можно определить как силу, действующую на единичный точечный неподвижный заряд, по- мещенный в данную точку поля.

Вектор напряженности имеет такое же направление, как и вектор силы, действующей на заряд.

Из (1) нетрудно видеть, что единица напряженности электростати- ческого поля – ньютон на кулон (H Кл), причем

1H Кл =1В м .

Описать электростатическое поле можно либо аналитически, вы-

либо графически с помощью силовых линий (линий вектора напря- женности E ).

Метод силовых линий применим для графического представления векторных полей любой природы. Так, при изучении гравитационного поля вводятся силовые линии, указывающие направление вектора на-

ются магнитными силовыми линиями.

Рис. 1

Силовая линия – это линия, направление касательной к которой в каждой точке совпадает с направлением вектора E в этой же точке.

Лабораторные работы по электричеству

Итак, электростатическое поле есть поле консервативное, для ко- торого справедливо утверждение, что работа сил электрического поля при перемещении пробного заряда по замкнутому пути равна нулю.

Действительно, с одной стороны,

а с другой, с учетом (5) и (3) :

A12 = W p1 −Wp2 = qnp ×(ϕ1 -ϕ2 ) .

Из сравнения последних выражений следует, что

причем интеграл можно рассчитывать по любой линии, соединяющей точки 1 и 2, т.к. работа сил электростатичного поля не зависит от вы- бора пути переноса пробного заряда qnp .

В частности, при обходе по замкнутому контуру (ϕ2 = ϕ1 ) форму- лу (6) можно представить в виде

где кружок у интеграла обозначает, что интегрирование берется по замкнутому контуру.

Интеграл ò E × dl называется циркуляцией вектора напряженности

по замкнутому контуру.

Лабораторные работы по электричеству

Выражение (7) называют теоремой о циркуляции вектора E : цир- куляция вектора напряженности электростатического поля по замкну- тому контуру равна нулю.

Уравнение (7) – одно из двух фундаментальных уравнений элек- тростатики. Поле, обладающее свойством (7), называется потенци- альным, т.е. любое электростатическое поле является консервативным или потенциальным.

Другим фундаментальным соотношением является теорема Гаусса (в интегральной форме), утверждающая, что поток вектора напряжен- ности электрического поля через замкнутую поверхность равен алгеб- раической сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов, де- ленной на электрическую постоянную ε0, т.е.

где кружок у интеграла означает, что интегрирование проводится по замкнутой поверхности.

Теорема Гаусса в ряде случаев позволяет весьма простым путем рассчитывать напряженность электрического поля, созданного, на- пример, одной заряженной плоскостью, двумя параллельными плос- костями, цилиндром, сферой, шаром и т.д.

Из вышесказанного следует, что электрическое поле можно опи- сать либо с помощью векторной величины (вектора E ), либо с по- мощью скалярной величины (потенциала ϕ ). Так как эти величины являются характеристиками электрического поля, то между ними должна существовать определенная связь.

Связь между напряженностью электростатического поля и потен- циалом можно выразить с помощью понятия градиента потенциала.

Градиент (потенциала) – вектор, показывающий направление наи-

Величина этого вектора равна изменению потенциала ϕ при пере- мещении на единицу длины в направлении быстрейшего изменения.

Длина градиента (потенциала) равна

Из механики известно, что консервативная сила равна градиенту потенциальной энергии частицы, взятому с обратным знаком, т.е.

оператором Гамильтона или оператором набла.

Для электростатического поля имеем:

F = qпр × E, Wр = qпр ×ϕ .

Тогда соотношение (11) принимает вид

qпр E = - Ñ(qпр ×ϕ),

т.е. напряженность электрического поля равна градиенту потенциала с обратным знаком.

Знак минус в (12) показывает, что вектор Е направлен противопо- ложно вектору градиента потенциала ϕ , и силовые линии электриче-

Лабораторные работы по электричеству

ского поля являются линиями, вдоль которых потенциал изменяется наиболее быстро.

Очевидно, что проекция вектора E на произвольное направление l

равна со знаком минус частной производной потенциала по данному направлению:

В случае однородного электрического поля (поля плоского конден- сатора), в любой точке которого вектор напряженности Е постоянен как по величине, так и по направлению, имеем простое соотношение:

пластинами конденсатора (или между двумя эквипотенциальными поверхностями);

d – расстояние между пластинами конденсатора (или между двумя эквипотенциальными поверхностями).

Поверхность, все точки которой имеют одинаковый потенциал, на-

зывается поверхностью равного потенциала или эквипотенциальной

Из вышеизложенного следует, что электрическое поле можно изо- бражать графически как с помощью силовых линий, так и пользуясь эквипотенциальными поверхностями.

Перенос заряда вдоль эквипотенциальной поверхности не требует работы (разность потенциалов двух любых точек этой поверхности равна нулю). Это означает, что сила, действующая на переносимый заряд, перпендикулярна к перемещению.

Лабораторные работы по электричеству

Следовательно, вектор E всегда направлен по нормали к эквипо- тенциальной поверхности, т.е. линии напряженности в каждой точке ортогональны к эквипотенциальной поверхности.

Итак, можно сделать важный вывод о том, что электрическое поле полностью можно описать векторной величиной – напряженностью E . Но во многих случаях оказывается, что для вычисления напряжен- ности E электрического поля удобнее сначала определить потенциал φ и затем по формуле (12) вычислить напряженность E . (В ряде за- дач с хорошей симметрией нахождение напряженности E непосред- ственно или с помощью теоремы Гаусса (8) оказывается значительно проще.)

Для исследования распределения потенциала в электростатическом поле системы заряженных проводников можно пользоваться методом электрического зонда. Зонд представляет собой тонкий кончик прово- лочки, выступающий из диэлектрической трубочки. Зонд, соединен- ный с электрометром, значительно меняет потенциал той точки поля, в которую он вносится. Это обусловлено возникновением индукцион- ных зарядов, появляющихся на зонде и шарике электрометра. Хотя существует ряд способов удаления индукционных зарядов с зонда, но проведение эксперимента с электрометром весьма затруднительно.

Одним из способов изучения электростатического поля является метод математического моделирования полей.

Моделирование находит широкое применение как при научных ис- следованиях, так и при решении большого числа практических задач в различных областях техники [1].

При физическом моделировании некоторый объект (натура) и мо- дель имеют одинаковую физическую природу, характер самого про- цесса сохраняется, но геометрические параметры модели отличаются от реального объекта.

При математическом моделировании закономерности различных по природе физических процессов описываются одинаковыми диффе- ренциальными уравнениями и граничными условиями. Метод математического моделирования, сводящий исследование явлений

Лабораторные работы по электричеству

тического моделирования, сводящий исследование явлений различной физической природы к математическим задачам, нашел широкое при- менение в связи с развитием вычислительной техники.

В данной лабораторной работе моделью электростатического поля

вдиэлектрике может служить электрическое поле стационарного тока

вслабопроводящей среде (при одинаковой геометрии электродов).

Подобие таких полей можно обосновать путем сопоставления их

свойств.

Как указывалось выше, для электростатического поля теорема о

циркуляции вектора напряженности электростатического поля имеет вид (7):

ò Е × dl = 0.

При отсутствии источников сторонних сил поле в однородной про- водящей среде описывается уравнением:

где j – плотность тока, равная, согласно закону Ома в дифференци-

Учитывая, что удельная электроводность данной проводящей сре-

ды

σ = const ,

уравнение (16) можно представить в виде:

σ ò E × dl = 0

или

ò E × dl = 0.

Итак, форма уравнений не меняется от замены непроводящей сре- ды (7) на слабопроводящую (16).