Энергия волны.

Энергия бегущей волны. Вектор плотности потока энергии

Упругая среда, в которой распространяется волна, обладает как кинетической энергией колебательного движения частиц так и потенциальной энергией, обусловленной деформацией среды. Можно показать, что объемная плотность энергии для плоской бегущей гармонической волны S=Acos(ω(t-)+φ₀)

(14)

где r=dm/dV - плотность среды, т.е. периодически изменяется от 0 до rА2w2 за время p/w=Т/2. Среднее значение плотности энергии за промежуток времени p/w=Т/2

. (16)

Для характеристики переноса энергии вводят понятие вектора плотности потока энергии - вектор Умова. Выведем выражение для него. Если через площадку DS^ , перпендикулярную к направлению распространения волны, переносится за время Dt энергия DW, то плотность потока энергии Рис. 2

, (17)

где DV=DS^ uDt - объем элементарного цилиндра, выделенного в среде. Поскольку скорость переноса энергии или групповая скорость есть вектор, то и плотность потока энергии можно представить в виде вектора, Вт/м2 (18) Этот вектор ввел профессор Московского университета Н.А. Умов в 1874 г. Среднее значение его модуля называют интенсивностью волны(19) Для гармонической волны u=v [cм.(14)], поэтому для такой волны в формулах (17)-(19) u можно заменить на v. Интенсивность определяется плотностью потока энергий – этовектор совпадает с направлением, в котором переносится энергия и равен потоку энергии перенсимой через……………..

Когда говорят о интенсивности, то подразумевают физическое значение вектора –потока энергии. Интенсивность волны пропорциональна квадрату амплитуды.

Поток энергии.

Поток энергии– количество энергии , переносимое волной через некоторую поверхность в единицу времени:

Вектор Умова. - связь плотности потока энергии с плотностью энергии упругой волны Для характеристики переноса энергии вводят понятие вектора плотности потока энергии - вектор Умова. Выведем выражение для него. Если через площадку DS^ , перпендикулярную к направлению распространения волны, переносится за время Dt энергия DW, то плотность потока энергии Рис. 2

, (17)

где DV=DS^ uDt - объем элементарного цилиндра, выделенного в среде. Поскольку скорость переноса энергии или групповая скорость есть вектор, то и плотность потока энергии можно представить в виде вектора, Вт/м2 (18) Этот вектор ввел профессор Московского университета Н.А. Умов в 1874 г. Среднее значение его модуля называют интенсивностью волны(19) Для гармонической волны u=v [cм.(14)], поэтому для такой волны в формулах (17)-(19) u можно заменить на v. Интенсивность определяется плотностью потока энергий – этовектор совпадает с направлением, в котором переносится энергия и равен потоку энергии перенсимой через……………..

Когда говорят о интенсивности, то подразумевают физическое значение вектора –потока энергии. Интенсивность волны пропорциональна квадрату амплитуды.

Вектор Умова.

Пусть в некоторой среде вдоль оси храспространяется упругая плоская продольная волна, описываемая уравнением (1.91')

Выделим в среде элементарный объем V такой, что скорость движения частиц dS/dt и деформацию среды dS/dxво всех точках этого объема можно считать одинаковыми. Это означает, что еслиm– масса всего выделенного объемаV, то он обладаеткинетическойэнергией

а потенциальная энергия упругой деформации этого объема

где Е – модуль Юнга, характеризующий упругие свойства среды.

Используя известное выражение m=V (– плотность среды) и зависимость скорости распространения упругих волн в твердой среде от свойств среды

получим

Тогда полнаяэнергияW, которой обладает выделенный объем

, (1.144)

Введем следующие физические величины:

1. Плотность энергииw, [Дж/м³] – суммарная энергия колебаний всех частиц, находящихся в единице объема среды:

2. Поток энергииФ, [Дж/с]– энергия, переносимая волной через некоторую поверхностьSв единицу времени:

3. Плотность потока энергииj, [Дж/(м² с)] – поток энергии через единичную площадку, расположенную перпендикулярно к направлению, в котором переносится энергия:

Через площадку S_за времяt пройдет вся энергияW, содержащаяся в объемеV:

W = wV =wS_vt.

Рис. 1.79

Тогда плотность потока энергии:

или в векторной форме

Плотность потока энергии – вектор, направление которого совпадает с направлением вектора фазовой скорости .

Вектор плотности потока энергии называетсявектором Умова. Вектор Умова позволяет вычислить полный поток энергии через определенную поверхность.

На основании (1.144) плотность энергии wв выделенном объеме

Взяв производные по времени и по координате от S(x,t), получимw=А² ²sin²(t –kx+).

Так как среднее значение , то среднее по времени значение плотности энергии в каждой точке среды

<w> = (1/2)А² ².

Этим значением определяется интенсивностьволны. Важно отметить пропорциональность среднего значения плотности энергииквадрату амплитуды волны.