4.3.5. Математическое ожидание и дисперсия

Пусть мы измеряем случайную величину N раз, например, десять раз измеряем скорость ветра и хотим найти среднее значение. Как связано среднее значение с функцией распределения?

Будем кидать игральный кубик большое количество раз. Количество очков, которое выпадет на кубике при каждом броске, является случайной величиной и может принимать любые натуральные значения от 1 до 6. Среднее арифметическое выпавших очков, подсчитанных за все броски кубика, тоже является случайной величиной, однако при больших N оно стремится ко вполне конкретному числу – математическому ожиданию M_x. В данном случае M_x = 3,5.

Каким образом получилась эта величина? Пусть в N испытаниях   раз выпало 1 очко,   раз – 2 очка и так далее. Тогда   При N → ∞ количество исходов, в которых выпало одно очко,  Аналогично,   Отсюда 

	Предположим теперь, что мы знаем закон распределения случайной величины x, то есть знаем, что случайная величина x может принимать значения x1, x2, ..., xk с вероятностями p1, p2, ..., pk. Математическое ожидание Mx случайной величины x равно

Математическое ожидание случайной величины часто обозначается как <x>. Записи <x> и M_x эквивалентны.

Пример 1

Найти математическое ожидание числа очков, которые выбьет первый стрелок в предыдущем примере.

Показать решение

Математическое ожидание не всегда является разумной оценкой какой-нибудь случайной величины. Так, для оценки средней заработной платы разумнее использовать понятие медианы, то есть такой величины, что количество людей, получающих меньшую, чем медиана, зарплату и большую, совпадают.

	Медианой случайной величины называют число x1/2 такое, что p (x < x1/2) = 1/2.

Другими словами, вероятность p₁ того, что случайная величина x окажется меньшей x_1/2, и вероятность p₂ того, что случайная величина x окажется большей x_1/2, одинаковы и равны 1/2. Медиана определяется однозначно не для всех распределений.

Вернёмся к случайной величине x, которая может принимать значения x₁, x₂, ..., x_k с вероятностями p₁, p₂, ..., p_k.

	Дисперсией случайной величины x называется среднее значение квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания:

Используя вероятности p_i того, что величина x принимает значения x_i, эту формулу можно переписать следующим образом:

	Среднеквадратическим отклонением случайной величины x называется корень квадратный из дисперсии этой величины: