Интегрирование тригонометрических функций.

Рассмотрим некоторые случаи нахождения интеграла от тригонометрических функций. Функцию с переменными , , над которыми выполняются рациональные действия принято обозначать , где R - знак рациональной функции.

1. Универсальная тригонометрическая подстановка

Вычисление неопределенных интегралов типа сводится к вычислению интегралов от рациональной функции подстановкой , которая называется универсальной.

Действительно, , , , . Поэтому ,

где - рациональная функция от t.

Удобны следующие правила:

1. Если функция нечетна относительно , т. е. , то делается подстановка ;

2. Если функция нечетна относительно , т. е. , то делается подстановка ;

3. Если функция четна относительно и , т. е. , то делается подстановка . Такая же подстановка применяется, если интеграл имеет вид .

Пример 1. Вычислить интеграл .

Решение: Т.к. подынтегральная функция не меняется при перемене знака у , то применим подстановку , тогда .

.

Пример 2. Вычислить .

Решение: Здесь можно использовать универсальную подстановку, но поскольку , положим . Тогда

.

2. Интегралы типа , .

Для нахождения таких интегралов используются следующие приемы:

1. Подстановка _, если – целое положительное нечетное число, т.е. .

Мы получили интеграл от рациональной функции.

2. Подстановка _, если – целое положительное нечетное число, т.е. .

3. Если и - целые неотрицательные четные числа ( ), то подынтегральное выражение преобразуют с помощью следующих формул понижения степени: .

4. Подстановка , если - четное отрицательное целое число.

Пример 3. Вычислить .

Решение:

.

Пример 4. Вычислить .

Решение: Подынтегральная функция меняет знак при перемене знака у , то применим подстановку . Тогда

.

Пример 5. Вычислить .

Решение: Подынтегральная функция меняет знак при перемене знака у , то применим подстановку . Тогда

.

Пример 6. Вычислить .

Решение: Подынтегральная функция представляет собой произведение четных степеней синуса и косинуса, поэтому применим формулы понижения степени:

.

Пример 7. Вычислить .

Решение: Воспользуемся формулой преобразования произведения тригонометрических функций в сумму:

Пример 8. Вычислить .

Решение: Понизим степень тангенса:

.

3. Использование тригонометрических преобразований

Интегралы типа , , вычисляются с помощью известных формул тригонометрии:

Интегрирование иррациональных функций.

1. Квадратичные иррациональности

Рассмотрим некоторые типы интегралов, содержащих иррациональные функции.

Интегралы типа , , называют неопределенными интегралами от квадратичных иррациональностей. Их можно найти следующим образом: под радикалом выделить полный квадрат и сделать подстановку . При этом два первые интеграла приводятся к табличным, а третий – к сумме двух табличных интегралов.

Пример 1. Найти интеграл .

Решение: Так как , то . Сделаем подстановку . Тогда .

Пример 2. Найти интеграл .

Решение: Тек как , то подстановка имеет вид .

Тогда,

.

Интегралы типа , где - многочлен степени n, можно вычислять, пользуясь формулой , где - многочлен степени с неопределенными коэффициентами,  - также неопределенный коэффициент.

Все неопределенные коэффициенты находятся из тождества, получаемого дифференцированием обеих частей равенства

, после чего необходимо приравнять коэффициенты при одинаковых степенях неизвестной x.