Вопрос 10

Числом сочетаний из по называется величина

.

Можно доказать, что число иррациональное. Его обозначают буквой .

Существует , который называется вторым

замечательным пределом.

Натуральным логарифмом числа называется число .

СЛЕДСТВИЕ 1 . СЛЕДСТВИЕ 2 .

СЛЕДСТВИЕ 3 .

11) Число называется пределом последовательности при , если . Пусть функция определена на и является предельной точкой . Говорят, что непрерывна в точке , если существует предел и он равен .

12) Пусть и является предельной точкой. называется точкой устранимого разрыва, если существует конечный и он .

13) называется точкой разрыва первого рода, если существуют конечные пределы справа и слева, но они различны. Точки множества Х, не являющиеся точками непрерывности, точками устранимого разрыва и разрыва первого рода, называются точками разрыва второго рода функции. (пример с графиком)

14) Пусть функция определена на и является предельной точкой. Если существует конечный предел

то он называется производной функцией в точке .

Если функция имеет производную в точке , то она непрерывна в этой точке. Обратное, вообще говоря, неверно.

15)

16) Если существует конечный предел , то говорят, что график функции имеет касательную в точке .

(геометрический смысл производной) График функции имеет касательную в точке тогда и только тогда, когда имеет производную в . В этом случае угловой коэффициент касательной .

17) Пусть функция определена в окрестности точки . Говорят, что - дифференцируема (расчленима) в точке если , где есть БМ при . Если дифференцируема в , то слагаемое называется дифференциалом функции .

18) (физический смысл производной). Пусть материальная точка движется вдоль оси по закону . Средней скоростью движения на промежутке называется величина . Мгновенной скоростью движения в момент времени называется

.

Средним ускорением на промежутке называется величина . Мгновенным ускорением в момент времени называется

.

19) Если существует конечный предел

,

то он называется производной n-го порядка функции в точке .

20) Прямая , проходящая через точку кривой, называется касательной к кривой в этой точке, если расстояние от переменной точки кривой до прямой стремится к нулю быстрее, чем расстояние от нее до , когда .

Прямая называется асимптотой неограниченной кривой, если расстояние от переменной точки кривой до этой прямой стремится к нулю, когда точка неограниченно удаляется по кривой. (график)

Вопрос 21.

Точка называется точкой локального максимума (минимума) функции , если . Точки

локальных максимумов и минимумов называются точками локального экстремума.

Max(наибольшее)

m ax min

Min(наименьшее)

Вопрос 22.

Пусть функция определена на , и ее график имеет касательную в каждой точке . Говорят, что эта кривая выпукла (вогнута) на , если она лежит выше (ниже) любой своей касательной.

Точка , называется точкой перегиба кривой, если эта кривая выпукла (вогнута) на и вогнута (выпукла) на .

Вопрос 23.

Пусть функция определена на некотором интервале и имеет на нем производные до -го порядка включительно. Многочлен степени называется многочленом Тейлора.

Разность - остаточным членом.

Остаточный член можно представить в форме Лагранжа

, где число находится между и .

Формула - формула Тейлора.

Вопрос 24.

Пусть функция определена на интервале . Дифференцируемая на функция называется первообразной функции , если .

Если есть первообразная функции на , то любая другая первообразная имеет вид , где - произвольная постоянная.

Множество всех первообразных функции называется неопределенным интегралом этой функции.

Обозначение .

Вопрос 25.

Вопрос 26.

Пусть функция имеет производную порядка в точке .

называется нулем кратности функции (корнем кратности уравнения ), если .

Теорема Гаусса: Многочлен -ой степени , имеет

ровно корней, если учитывать кратность каждого корня и все комплексные корни. Если его корни, то имеет место представление

.

Вопрос 27.

Рациональные функции с вещественными коэффициентами вида или вида , где квадратный трехчлен имеет комплексные сопряженные нули, называются простейшими дробями.

Каждая правильная дробь единственным образом представима в виде суммы простейших дробей. Алгоритм представления называется методом неопределенных коэффициентов.

Вопрос 28.

Разобьем отрезок точками на попарно не пересекающихся отрезков, и обозначим это разбиение . Длина наибольшего из отрез ков , где , называется диаметром разбиения отрезка .

a b

Вопрос 29.

Пусть на отрезке задана функция. Произведем разбиение , и выберем на -ом отрезке разбиения точку . Обозначим . Сумма вида называется интегральной суммой.

Если существует конечный предел , равномерный относительно выбора точек :

,

то он называется определенным интегралом (Римана) функции на отрезке , а - интегрируемой по Риману функцией. Обозначение .