1. Что такое комбинаторные задачи?

Задача в которой из конечного множества вариантов выбирается наилучший

2. Назовите три основных типа комбинаторных задач.

A) задачи на перечисление;

B) Задачи существования и построения;

C) задачи выбора.

3. Что такое план задачи? допустимый план? оптимальный план?

Предположим, для решения задачи необходимо получить определенный набор переменных. Так вот - этот набор и есть план. На наборе значений определена какая-либо функция, принимающая значение 1, если данный набор является решением задачи. Те планы, на которых функция принимает значение 1 - допустимые планы. Кроме того, определена еще одна функция, грубо говоря, - затраты на выполнение этого плана. Оптимальный план - тот из допустимых планов, при котором функция затрат минимальна..

Наборы значений переменных X = x1, x2, ... xn принято называть планами данной задачи¹; те планы, для которых G(X, p) = 1, называются допустимыми планами. Набор значений, в котором определены только некоторые компоненты xi, называется частичным планом задачи.

4. Чем различаются комбинаторные задачи с фиксированной и нефиксированной размерностью?

Комбинаторную задачу с фиксированной размерностью определим следующим образом.

Даны n конечных множеств U1, U2, ... Un (множества значений переменных) и множество значений параметров (исходных данных задачи) P (не обязательно конечное). Задана также функция ограничений G(X, p) = G(x1, x2, ... xn, p) (0, 1), описывающая область допустимых значений переменных x1, x2, ... xn при значении параметра p P

Комбинаторная задача с нефиксированной размерностью отличается тем, что величина n (длина плана) заранее неизвестна и может быть различной для разных планов одной и той же задачи. Для таких задач план строится, начиная с x1, и после выбора значения каждой очередной x_k по определенным правилам определяется, получен ли уже полный план задачи или требуется определение следующей переменной x_k+1. В то же время требуется, чтобы число шагов было заведомо конечно.

5. Что такое исчерпывающий перебор?

Перебор всех существенных планов

Мы будем говорить, что конкретный алгоритм выполняет исчерпывающий перебор, если можно гарантировать, что не пропущен ни один план, который мог бы повлиять на результат

6. Что такое перебор с возвратами?

Решение задачи методом перебора с возвратом строится конструктивно последовательным расширением частичного решения. Если на конкретном шаге такое расширение провести не удается, то происходит возврат к более короткому частичному решению, и попытки его расширить продолжаются.

7. Что такое дерево перебора? Как выглядит на этом дереве план задачи?

методичка страница 13

План задачи - ветвьдерева.

Дерево перебора - дерево, где на каждом множество допустимых значений каждой переменной x_i состоит из целых чисел от 1 до m_i. Каждая ветвь дерева соответствует плану задачи. Рисунок соответствует задаче с фиксированной размерностью n. Для задачи с нефиксированной размерностью ветви дерева могут иметь неодинаковую длину.

Для задачи поиска обход дерева можно прекратить, как только найдена ветвь, представляющая допустимый план задачи. Для задач перечисления и оптимизации перебор следует продолжать до получения всех допустимых планов.

8. Что такое последовательный перебор (перебор с перечислением)?

Последовательный перебор (linear search) - поиск в списке элемента, начиная с первого и по всем элементам по очереди, пока нужная информация не будет найдена.

9. В чем недостаток последовательного перебора по сравнению с перебором с возвратами?

Решение задачи методом перебора с возвратом строится конструктивно последовательным расширением частичного решения. Если на конкретном шаге такое расширение провести не удается, то происходит возврат к более короткому частичному решению, и попытки его расширить продолжаются. Для ускорения перебора с возвратом вычисления всегда стараются организовать так, чтобы была возможность отметать как можно раньше и как можно больше заведомо неподходящих вариантов M.

10. Почему перебор не является практичным методом решения комбинаторных задач?

Потому что трудоемкость перебора очень сильно зависит от числа переменных и числа их возможных значений.

11. Как зависит трудоемкость перебора от числа переменных и от числа возможных значений переменных?

О большое от произведения числа возможных значений переменных для каждой переменной.

12. Что называется рекордом при решении задач оптимизации?

Лучшее значение уже полученной целевой функции (рекордный план – план на котором достигнут рекорд)

13. В каких случаях можно сократить перебор с возвратами?

• Иногда уже после выбора нескольких первых значений xi выясняется, что на данной ветви дерева перебора не может быть допустимых планов. Например, коммивояжер раньше времени вернулся в исходный город, рюкзак переполнен первым же товаром, при раскраске графа две смежные вершины оказались одного цвета. Во всех этих случаях нет смысла достраивать план до полного, лучше уже не будет.

• Похожая ситуация иногда возникает в задачах оптимизации. Каждый построенный план задачи должен сравниваться с текущим рекордом. Иногда удается, не дожидаясь построения полного плана, сравнить с рекордом и на основании этого сравнения отвергнуть частичный план. Например, для задачи о коммивояжере текущий рекорд составляет 500 единиц длины, а очередной строящийся план начинается с путей длиной 200 и 350 единиц. Нет смысла достраивать такой план, потому что короче он уже не станет.

• В задаче поиска иногда возникает ситуация, когда удачный выбор нескольких первых переменных гарантирует, что план будет допустим при любых значениях оставшихся переменных. Например, в задаче о тождественной истинности ДНФ может оказаться, что первое же значение x₁ = 0 обращает в нуль все элементарные конъюнкции.

• В задаче оптимизации иногда удается построить допустимый план, относительно которого можно с уверенностью сказать, что он оптимален, потому что лучшего просто не бывает. Например, если в задаче о коммивояжере удалось построить такой замкнутый маршрут, в котором путь из каждого города ведет в ближайший к нему город, то этот маршрут, очевидно, является кратчайшим и дальнейший перебор не имеет смысла.