1. Определение и способы задания графа. Теорема о вершинах графа с нечетной степенью.

Графом (G) будем называть тройку объектов (X, U, F), где X – множество вершин, U – множество ребер, F – инцидентор. F определен на всех таких упорядоченных тройках <x,u,y>, на которых x,y€X, u€U и справедливо следующее высказывание

Для любого u€U истинно одно из трех высказываний:

1.

2.

3.

В соответствии с этими выражениями множество ребер U разбивается на 3 класса:

– класс ориентированных ребер (или дуг)

– класс петель

– класс неориентированных ребер

Ориентированный граф (орграф) - граф, содержащий только ребра

Неориентированный граф (неорграф) – граф, содержащий только ребра

Графы могут быть смешанными (и ребра и петли)

Теоретико-множественное задание графа

G=(X, U, F)

X={x1,x2,x3,x4,x5}

U={u1,u2,u3,u4,u5}

F={<x1u1x2>, <x2u2x3>, <x3u3x4>, <x4u4x4>, <x4u5x5>}

Сюда входят: ={u1,u3} ={u4} ={u2,u5}

Если в графе имеется несколько однотипных ребер, расположенных между одной и той же парой вершин, то такой граф наз. мультиграфом. Наибольшее число однотипных ребер, соединяющих какую-либо пару вершин, наз. мультичислом.

Если в смешанном мультиграфе убрать ориентацию ребер, все кратные ребра стянуть в одно и убрать петли, то получим скелет графа, или простой граф – униграф. Простой граф называется полным, если любой паре его вершин инцидентно одно ребро. Простые графы удобно задавать, используя 2 множества: множество вершин и множество ребер. Причем, множество ребер задается парами вершин, инцидентных данному ребру.

Граф наз. симметрическим, если

В графах различают 2 категории понятий:

-смежности

-инцидентности

Если пара вершин в графе соединена ребром, то такие вершины называются смежными. Если два ребра имеют общую вершину, то они тоже называются смежными. Если вершина является началом или концом ребра, то эти вершина и ребро наз. инцидентными.

Если в графе вершина не инцидентная ни одному ребру, то она называется голой или изолированной вершиной. Граф, состоящий из изолированных вершин наз. голым графом или нуль графом.

Число ребер, инцидентных одной вершине наз. локальной степенью вершины и обозначается ρ(x) Число ребер между парой вершин обозначается ρ(x,y)

Т. Число вершин графа с нечетной степенью в конечном графе всегда четно.

Док-во:

Сумма всех степеней графа =четное сило (т.к. оно равно 2m). Вычтем из него сумму степеней вершин с четными степенями, оставшееся число тоже четно и представляет собой сумму степеней графа с нечетной степенью.

Если степень каждой вершины графа одинаковая, то такой граф называется однородным степени k, где k= ρ(x)

ρ(x) - число дуг, заходящих в данную вершину называют полустепенью захода.

ρ(x) - число дуг, выходящих из данной вершины называют полустепенью исхода.

Для ориентированного графа

2. Части графа. Теорема Рамсея.

H=(X`,U`,F) называется частью графа G=(X, U, F) , если x

Выделяют след. виды частей:

1 Часть H=(X`,U`,F) является подграфом графа G, если U` выбрано т.о., что ребра замыкают только вершины из X`.

Подграф, не содержащий ребер наз. пустым подграфом, а множество вершин, порожденное пустым подграфом, наз. внутренне устойчивым множеством.

2 Часть H=(X`,U`,F) наз. суграфом графа G, если X`=X и . Суграф получается из графа исключением некоторых ребер.

3 Часть H=(X`,U`,F) наз. куском графа G, если и

Ребра из подмножества Uii связывают вершины из X` друг с другом. А ребра из подмножества Uij связывают вершины X` с оставшимися вершинами (X\X`)

Для любой части графа H можно найти единственную доп. часть H, содержащую ребра, не входящие в H. Можно рассматривать дополнение каждого графа до полного графа, построенного на том же множестве вершин. Можно рассматривать дополнение до полного графа. Дополнением графа G называется граф G с теми же вершинами, что и граф G, и содержащий, только те ребра, которые нужно добавить к графу G, чтобы получился полный граф.