4. Даны множества :

А= [2,9] , В= ]1, 7[ , С= [0, 5] , Д = ]-7,10[

Найдите : а)( А ∩ В ) U ( В ∩ Д )

б) ( А ∩ Д ) U ( В ∩ С )

в) ( А U В ) ∩ ( В U Д ).

Решение

Последовательно выполняем операции и находим ответ в каждом из трех случаев. При затруднении используем числовую прямую.

а)

1 7
2 9

-7 10
1 7

2 7
1

б) =

в) = =

5. Начертите диаграмму Эйлера-Венна, если А ∩ В ∩ С  φ . Отметьте штриховкой множество (А ∩ В)\ С.

Решение

Изобразим каждое множество кругом Эйлера и отметим штриховкой последовательно пересечение множеств А и В, множество С А разность этих множеств выделим по контуру:

6. С помощью диаграммы Эйлера -Венна исследуйте вопрос о справедливости утверждения

А \( В ∩ С ) = ( А \ В ) U ( А \ С ).

Решение

Изображаем данные множества дважды и отмечаем на одной диаграмме все операции стоящие слева от знака равенства, а на другой - справа. Затем сравниваем результат. В итоге на обеих диаграммах должно быть выделено одно и то же множество:

В

В

7. Докажите справедливость равенства :

Решение

Доказательство равенства двух множеств состоит в том, что, во-первых, устанавливается , является ли первое множество подмножеством второго, и, во-вторых, является ли второе множество подмножеством первого.

Чтобы выяснить, является ли множество подмножеством другого, выбирают произвольный элемент из первого множества и проверяют не принадлежит ли он второму множеству.

1.

;

Следовательно ;

2.

;

Следовательно ;

В итоге получаем, что = .

8. Проверьте правильность классификации :

параллелограммы делятся на ромбы, прямоугольники, не имеющие оси симметрии параллелограммы.

Решение

Классификация неверна, ибо существует элемент общий для двух названных множеств : квадрат является одновременно ромбом и прямоугольником.

9. Докажите, что пересечение множеств и образует пустое множество.

Решение

)=( ) ( )=

Использовали для доказательства закон коммутативности и ассоциативности пересечения множеств.

10. В классе 25 учащихся. Из них 13 лыжников, 8 пловцов и 17 велосипедистов. Причем каждый спортсмен занимается только двумя видами спорта и учится на "3" или на "4". В классе 6 круглых отличников. Сколько в классе спортсменов ? Сколько в классе неуспевающих?

Решение

Будем использовать разбиение множества учащихся класса на попарно непересекающиеся подмножества - классы с помощью трех свойств :"быть лыжником"; "быть пловцом" и "быть велосипедистом".

Получим 8 классов :

лыжники пловцы 0 чел. 0 чел. Х 0 чел. Y Z 0 чел. велосипедисты

Так как каждый спортсмен занимается только двумя видами спорта, устанавливаем, что численность четырех из восьми классов разбиения равна нулю (нет тех, кто занимается только лыжами, только плаванием, только велосипедом, и нет тех, кто одновременно занимается всеми тремя видами спорта).Численность же тех, кто составляет оставшиеся три класса спортсменов обозначим соответственно x, y, z. Далее, в соответствии с условием задачи, зная численность каждого из множеств, занимающихся лыжами, плаванием и велосипедом, получаем три уравнения :

x + z = 13

x + y = 8

y + z = 17

Сложим все уравнения и получим удвоенное число спортсменов : 2(x + y+ z)=38; значит всего спортсменов x + y+ z =19. Спортсмены учатся на "3" или на "4", следовательно , не являются отличниками, которых по условию в данном классе 6 человек. Всего в классе 25 человек, это и есть спортсмены и отличники, вместе взятые. Неуспевающих в этом классе, следовательно, нет.

Вариант 1.