- •1.Понятие о соотвествии
- •2. Частные виды соответствий
- •3. Понятие обратного соответствия f – 1 . Теорема о свойствах f и f – 1. Следствие.
- •4. Матрица соответствия. Особенности матриц частных видов соответствий
- •5. Биекция
- •6 Биекция. Особенности матриц и графов. Понятие и примеры множеств мощности континуум.
- •7 Теорема о том, что мощность мн-ва (квадратные скобки) (0,1) больше счетной.
- •8. Бинарное отнош-е как частный случай соответствия между множ-вами.
- •13.Понятие целого неотрицательного числа. Числа 0 и 1.
- •17.Аксиоматика Пиана. Числа 0 и 1
- •14. Сложение в n0. Свойства. Вычитание и его свойства.
- •15. Умножение в Nо
- •16. Порядок в n0.
- •18 Сложение в No и его свойства
- •19. Умножение в Nо и его св-ва
- •20. Вычитание и деление в n0
- •21 Закон трикомитрии и порядок в n0. Не уверена что он до конца!!!!!
- •23. Сложение и умножение целых чисел. Свойства этих бао.
- •24.Вычитание и деление целых чисел (бао и частичное бао).Свойства.
- •25. N0 как подмножество z. Порядок в z
23. Сложение и умножение целых чисел. Свойства этих бао.
Суммой двух целых чисел альфа и бета с представителями (а1, в1) и (а2, в2) называют число альфа + бета с представителями (а1+а2, в1+в2). 2+(-5)=(2-0)+(1-6)=(2+1)-(0-6)
Теорема о конкретности определения.
Док-во: надо проверить, что сумма не зависит от выбора представителя. Введем новые, представители (а1,в1) и (а2,в2) тех же чисел альфа и бета, т.к.
( а1,в1) f (а2,в2), то а1+в1=в1+а1, а2+в2=в2+а2. Найдем сумму альфа и бета при помощи новых
п редставителей получим пару (а1+а2, в1+в2) проверим, что эта пара эквивалентности старой без, т.е.
(0 ' 1+0 ' 2, в ' 1+ в ' 2)f(а1+а2, в1+в2), т.е. (а ' 1 + а ' 2) + (в1+в2)=(в ' 1+ в'2)+(а1+а2).
Достаточно рав-ва сложить и преобразовать.
Теорема о сво-х сложения
Гамма(петля)
Св-ва: ВСЕГДА
10 альфа + бета = бета + альфа (коомуникативность)
20 (альфа + бета) + гамма=альфа+(бета+гамма) (ассоциативность)
30 альфа+омикрон(о с петлей сверху)=альфа (омикрон нейтр. Эл)
Deff: числом, противоположным числу альфа с представителями (а,в), называется число – альфа с представителями (в,а)
40 альфа+(-альфа)=омикрон
50 омикрон – альфа= - альфа
60 (альфа+бета)=(-альфа)+(-бета) число противоположное суммк, равно сумме противоположному числу
70 альфа+гамма=бета+гамма, то альфа=бета
Док-во:
10 альфа:(а1,в1)
Бета:(а2,в2) тогда альфа+бета:(а1+а2), (в1,в2), бета+альфа:а2+а1, в2+в1 = (над знаком равно коммуникативность) (а1+а2), (в1+в2) ч.т.д.
20 аналогично
30(-альфа):(в,а)
40 альфа + (-альфа) : (а,в), (в,а)f(0,0) – представитель по омикрону.
Умножение в множестве целых неотрицательных чисел
Опред:произвед чисел альфа и бета с представителями (а1,в1), (а2,в2) наз целое число альфа бета с представит (а1*а2+в1*в2), (а1*в2+в1*в2). Можно доказать конкретность этого определения.
Теорема о св-х умножения. БАО всегда
10альфа*бета=бета*альфа
20 (альфа*бета)*гамма=альфа*(бета*гамма)
30 альфа * омикрон
24.Вычитание и деление целых чисел (бао и частичное бао).Свойства.
Разностью чисел αм и β называется число α-β=α+(-β)
Теорема: Вычитание-БАО, обратная сложению.
Док-во
Рассмотрим ур-еβ+χ=α, где α и β-целые числа, χ-?
Рассмотрим это ур-е.Оно имеет решение
Χ= α+(-β):
Л.ч.=β+χ=β+( α+(-β))=( α+(-β))+β=α+((-β)+β)=α+Ợ=α=п.ч
Это решение единственно: если χ1,χ2 произв. решение ур-я, то из системы числовых равенств β+χ1=α, β+χ2=α получим β+χ1=β+χ2, откуда χ1=χ2
00=β+(α-β)-разность
Теорема о св-вах вычит.:
10 α-Ợ=α
20α-α=Ợ
3 (α+β)-ɤ=(α-ɤ)+β=α+(β-ɤ)-свойство вычитания числа из суммы
4 α-(β+ɤ)=(α-β)-ɤ-св-во вычитания суммы из числа
5(α-β)-ɤ=(α-ɤ)-β=α-(β+ɤ)-правило вычитания числа из разности
6α-(β-ɤ)=(α-β)+ɤ-правило вычитания разности из числа
Док-во:
1 α-Ợ=α
Т.к. вычитание обратно сложению,то можно проверять вычитаемое+разность=уменьшаемому
Верно ли,что Ợ+α=α верно
2.α-α=Ợ
α+(Ợ)=α-см. сложение
3(α-β)-ɤ=(α-ɤ)+β
ɤ+((α-ɤ)+β)=α+β
л.ч=(α+(β-ɤ))+ɤасс.=α+((β-ɤ)+ɤ)=комм.=α+β=п.ч. ит.д.
деление целых чисел
Егомы введем как частичную операцию обратную умножению.
Рассмотрим уравнение β*χ
β≠Ợ
χ-?
Теорема:
Док-во обычное
Единственное решение этого уравнения будем обозначать χ=α:β и называть частичным от деления делимого α от делителя β.
Справедливо
0 β*(α:β)=α-эти свойства имеют смысл всегда,когда есть смысл
1 α:ε=α-ε-правый нейтральный элемент
2.α:α=ε (неимеет смысла, когда α≠0)
3.(α*β):ɤ=(α:ɤ)*β=α*(β:ɤ)св-во деления произведения на число
4 α:(β*ɤ)=(α:β):ɤ
5. (α:β):ɤ=(α:ɤ):β=α:(β*ɤ)правило деления числа на произведение
6 α:(β:ɤ)=(α:β)*ɤ