13.Понятие целого неотрицательного числа. Числа 0 и 1.

Под конечным множеством мы будем понимать такое, которое не равномощно никакому своему собственному подмножеству(все кроме самого множества и пустого множества. Пусть М-множество всех конечных множеств. Отношение равномощности (~). А~В если между ними можно установить биекцию, рефлексивно, симметрично и транзитивно на М (любое А равномощно самому себе, т.к. между А и А можно установить биекцию. Если А~В, т.е. между А и В есть биекция альфа, то между В и А тоже есть биекция альфа. Если А~В, В~С, т.е. между А и В есть биекция альфа и между В и С есть биекция бета, то между А и С тоже биекция альфа и бета, т.е. отношение равномощности транзитивно А~С. Т.к. (~)-отношение эквивалентности, то оно разбивает М на классы эквивалентности, каждый и называется целым неотрицательным числам . Число 0 называется число с представителем пустого множества. Целым числом 1 назовем число с представителем.

17.Аксиоматика Пиана. Числа 0 и 1

N-некоторое пустое множество. Его элементы будут называться целыми неотрицательными. Один из них считается выделенным и называется 0. 0- просто выделенный элемент. На множестве N считается заданной так называется функция непосредственного следования, которая определена всюду на N и принимает значение в N.Запись у=S(х) будем читать так у - непосредственно следует за х, или х непосредсвенно предшествует числу у. 0 – выделенный элемент ,1=S(0), 2=S(1), 3=S(2)Итак, D(S)=N, область определения функции, Е(S)=N множество такой функции. Аксиомы Пиана1.Функции S не принимает нулевые значения, т.е. S(х)не равно 0, т.е 0 не принадлежит Е, следовательно S не сюръеция, т.е. у 0 нет непосредственно предшествующего числа.2. Если S(х1)= S(х2), то всегда х1=х2, т.е. если следующие равны, то и предыдущие равны, т.е. S всюду определенная функция не сюръекция еще и инъективна.3.Аксиома полной математической индукции(наведение) Если А обладает 2 свойствами 1.0 принадлежит А, содержит 0 А.2.если А содержит некоторое а, то всегда следует число, является элементом А, S(а)принадлежит А, то А совпадает со всем множеством N.

14. Сложение в n0. Свойства. Вычитание и его свойства.

Сложение

Опр. а+0=а

а+S(в)=S(а+в)

Теорема о свойствах сложения. (Всегда)

1. (а+в)+с=а+(в+с) – асоциативность

2. 0+в=в (нуль-левый нейтральный элемент)

3. а+1=1+а

4. S(х)=х+1 (структура функицй следований)

5. а+в=в+а

6. Если а+с=в+с, то а=в

Доказательство: все свойства будем доказываться методом полной математической индукции.

1.Проверим сначала справедливость равенства (а+в)+с=а+(в+с) при с=0.

(а+в)+0=а+(в+0), л.ч.=(опр.) а+в, п.ч.=(опр.) (а+в)= л.ч.

Лемма (вспом. Теорема) Дано (а+в)+с=а+(в+с) при некотором с, доказать: (а+в)+S(с)=а+S(в+с) Доказательство: а+S(в)=S(а+в)

л.ч.=(опр.) S((а+в)+с), п.ч.=а+S(в+с)=(опр.) S(а+(в+с))=л.ч.

2. 0+в=в

Индукция по в. Если в=0, то 0+0=0 – верно, т.к. 0+0=(опр.)=0 Лемма: Дано: 0+в=в при некотором в. Доказать: 0+S(в)= S(в) Док-во: л.ч.= S(0+в)=(опр.) S(в)= п.ч.

0 - нейтральный элемент сложения.

3. Проверим справедливость этого равенства а+1=1+а , при а=0, т.е. что 0+1=1+0 – верно, т.к. 0 – нейстральный элемент, Л.ч.= 1 в силу 2 свойства, П.ч. = 1 по той же причине.

4. S(х)=х+1

Индукция по х – плохо. П.ч. = х+S(0)= S(х+0)= (2 свойство) S(х)=л.ч.

5. а+в=в+а

Индукция по а. При а=0, равенство 0+в=в+0, верно в силу того, что 0-нейтральный элемент. Лемма: а+в=в+а, при некотором а. Доказать S(а)+в, всегда = в+S(а). Док-во: л.ч.=S(а)+в=(по 4 свойству) (а+1)+в=(по 1 св.) а+(1+в)=(по 3 св.) а+(в+1)= (по 1 св.) (а+в)+1=(по 4 св.) S (а+в), П.ч. в+S(а)= (опр.) S (в+а)=S(а+в)=л.ч.

6. Если а+с=в+с, то а=в. Индукция по с. Из а+с=в+с вытекает а=в при с=0 – очевидно

Лемма. Дано: из а+с=в+с, вытекает а=в при некотором с. Из а+S(с) = в+ S(с) тоже вытекает рав-во а=в Док-во: рав-во а+ S©= в + S (с), можно представить в виде S(а+с)=S(в+с). По аксиоме Пеано а+с=в+с следует по дано а=в.

Вычитание и в N0

Теорема о свойствах вычитания

1.а-0=а 0-правый элемент вычитания

2.а-а=0

3.Правила вычитания числа из суммы (а+в) –с=(а-с)+в=а+(в-с)

4.Правило вычитания суммы из числа а-(в+с)=а-в-с

5.Правила вычитания числа из разности (а-в)-с=(а-с)-в=а-(в+с)

6.Правило вычитания разности из числа а-(в-с)=а

Док-во (а-в)+с

так как вычитание частичная операция обратно сложению, то вместо доказательства свойств вида умн-вычитание=разность. Можно проверять, что вычитание+разность=умн

1.а-0=а Верно ли, что вычитание (0) + разность =а-верно смотри св-ва сложения

2.а-а=0 , а+0=а верно см сво-ва сложения

3.(а+в)-с=(а-с)+в

с+((а-с)+в)=а+в

л.ч. с+(а-с)+в=9а+в) по ассоциат.

(а+в)-с=а+(в-с)

с+а+(в-с)=а+в

л.ч. (с+а)+(в-с=коммут(а+с)+(в-с)=а+(с+(в-с))=а+в пр.ч.

4. а-(в+с)=(а-в)-с, ум выч разн (в+с)+((а-в)-с)=а

по ассоц л.ч.=в+(с+((а-в)-с))= в+(а-в)0с нулем=а

5. (а-в)-с=(а-с)-в. ум в разность. Проверим что с+((а-с)-в)=а-в. Проверим что

в+(с+((а-с)-в))=а

В+с+((а-с)-а)по ассоц=с+(в+((а-с)-в))0 с нулем п.ч.

(а-в)-с=а-(в+с)

Верно ли, что с+(а-(в+с))=а-в

Верно ли в+(с+(а-(в+с)))=а

в+с+(а-(в+с)) равно а=п.ч

6. а-(в-с)=верно ли=(а-в)+с

л.ч.=(в-с)+(с+(а-в))по ассоц=((в-с)+с)+(а-в)по коммут=в+(а-в)=0 с нулем=а