новая папка / QW-07

1

Позиционные и непозиционные системы счисления. Запись чисел в позиционных системах счисления

Система счисления - это способ записи чисел с помощью заданного набора специальных знаков (цифр).

Системы счисления делятся на позиционные и непозиционные. Пример непозиционной системы счисления – римская система счисления.

В современно мире наиболее распространенным является представление чисел по­средством арабских цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 — специальных знаков, используемых для записи чисел. Системы счисления различаются выбо­ром базисных чисел и правилами образования из них остальных чисел.

Системы счисления, в которых любое число получается путем сложения или вычитания базисных чисел, называются непозиционными.

Например, в римской системе счисления базисными являются числа 1, 5, 10, 50, 100, 500, 1000, которые обозначаются знаками I, V, X, L, С, D, М, а другие получаются путем сложения и вычитания базисных. Если цифра справа меньше или равна цифре слева, то эти цифры складываются; если цифра слева меньше, чем цифра справа, то левая цифра вычитается из правой. Так, например, число 146 в римской системе счисления имеет вид CXLVI (С — 100, ХL — 40, VI — 6), здесь «сорок» получается по­средством вычитания из «пятидесяти» числа «десять», «шесть» — по­средством сложения «пяти» и «единицы».

При таком представлении чисел правила сло­жения для небольших чисел очевидны и просты, однако если возникает необходимость выполнять операции сложения над большими числами или операции умножения и деления, то римская система счисления ока­зывается неудобной. В этой ситуации преимущественнее оказываются позиционные системы счисления.

Система называется позиционной, если значение каждой цифры (ее вес) изменяется в зависимости от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число.

Десятичная позиционная система счисления основана на том, что де­сять единиц каждого разряда объединяются в одну единицу соседнего старшего разряда. Таким образом, каждый разряд имеет вес, равный степени 10. Например, в записи числа 343.32 цифра 3 повторена три раза, при этом самая левая цифра 3 означает количество сотен (ее вес равен 10²); цифра 3, стоящая перед точкой, означает количество единиц (ее вес равен 10⁰), а самая правая цифра 3 — количество десятых долей единицы (ее вес равен 10^-1), так что последовательность цифр 343.32 представляет собой сокращенную запись выражения:

З*10²+4*10¹ +3*10⁰+3*10^-1 +2*10^-2.

Десятичная запись любого числа X в виде последовательности цифр: a_n а_n-1 ... а₁ a₀ a_-1…a_-m…

основана на представлении этого числа в виде полинома:

X= a_n*10ⁿ+a_n-1*10^n-1+... а₁*10¹ +a₀*10⁰ +a_-110^-1+…a_-m*10^-m …,

где каждый коэффициент a_i может быть одним из чисел, для обозначения которых введены специальные знаки.

Число K единиц какого-либо разряда, объединяемых в единицу старшего разряда, называют основанием позиционной системы счисления, и сама система счисления называется K-ичной. Например, основанием десятичной системы счисления является число 10; двоичной — число 2; троичной — число 3 и т.д. Для записи произвольного числа в K-ичной системе счисления достаточно иметь K разных цифр. Например, в троичной системе счисления любое число может быть выражено посредством цифр 0, 1, 2.