Основные законы алгебры логики. Преобразование логических функций

Для построения оптимальных логических схем используются тождественные преобразования логических выражений. В итоге получаются схемы, реализующие заданные операции с использованием меньшего числа логических элементов. Для выполнения этих преобразований используются законы алгебры логики.

X1 ^ X2=X2 ^ X1, X1 V X2= X2 V X1	Закон коммуникативный (переместительный)
(X1 ^ X2) ^X3=X1 ^ (X2 ^ X3), (X1 V X2) VX3=X1 V (X2 V X3)	Закон ассоциативный ( сочетательный)
X1 ^ (X1 V X2)= X1 X1 V (X1 ^ X2)=X1	Закон поглощения
X1^(X2 V X3)=(X1 ^ X2) V (X1 ^ X3) X1V(X2 ^ X3)=(X1V X2) ^ (X1V X3)	Закон распределительный (дистрибутивность)
X1 ^ не Х1=0	Закон противоречия
X1 V не X1 =1	Закон исключенного третьего
X1 V X1 = X1 X1 ^ X1 =X1	Закон отсутствия степеней и коэффициентов
Не (X1 ^ X2)= Не X1 V Не X2 Не (X1 V X2)= Не X1 ^ Не X2	Законы де Моргана
Не Не X= X	Закон двойного отрицания
(X1 ^ Не X2) V (X1 ^ X2) =X1	Закон склеивания

Равенства, приведенные в таблице, устанавливаемые, например, с помощью таблиц истинности, позволяют уже без помощи таблиц получать другие равенства. В этом случае методом получения равенств являются так называемые тождественные преобразования, которые меняют формулу, но не функцию, реализуемую этой формулой.

Символы логического умножения, сложения и отрицания играют роль базовых, т.к. всякая функция алгебры логики может быть выражена формулой, записываемой с их помощью. Это имеет принципиальное значение для обработки информации центральным процессором компьютера, т.к. процессор обрабатывает информацию, закодированную в двоичном алфавите и имеющую форму электрических сигналов, причем делает он это посредством электронных схем. Основными элементами этих схем являются полупроводниковые транзисторы, различные соединения которых при прохождении через них электрических сигналов, интерпретируемых как “0” и “1”, реализуют основные логические функции – логическое умножение, сложение и отрицание. Это оказалось достаточным, чтобы процессор мог производить не только любые логические операции, но и все арифметические действия в двоичной системе счисления. Более того, с помощью этих же электронных схем, реализующих только логические умножение, сложение и вычитание, осуществляет запоминание битов информации элемент оперативной памяти – статический триггер. Таким образом, алгебра логики выступает здесь в качестве алгебры переключательных схем или дискретных (цифровых) сигналов. Наличие законов алгебры логики и возможность тождественных преобразований позволяют при конструировании сложных интегрированных и переключательных схем получать их технически упрощенными, сохраняя эквивалентной реализуемую ими логическую функцию.

Пример. Упростить логическое выражение

Не( X1VX2)^(X1^ НеX2) = (закон де Моргана)

Не X1 ^ НЕ X2 ^ (X1 ^ Не X2) = (сочетательный закон)

Не X1 ^ X1 ^ Не X2 ^ Не X2 = ( операция переменной с ее инверсией)

0 ^ Не X2=0 (операция с константами)

Попробуйте сами упростить логическое выражение

F= Не X1 ^ X2 ^ X3 V X1 ^ Не X2 ^ Не X3 V X1 ^ Не X2 ^ X3 V X1 ^ X2 ^ Не X3 V X1 ^ X2 ^ X3 и привести его к виду

F= (X1 V X2) ^ ( X1 V X3) ^ X2 V X3