1.2. Метод секущих
Пусть на отрезке [a; b] отделен корень с уравнения f(x) = 0 и f-функция
непрерывна на отрезке [a; b], а на интервале ]a; b[ существуют отличные от
нуля производные f \' и f ”.
Так как f \'(x) ** 0 , то запишем уравнение f(x) = 0 в виде :
x = x - ( f(x)/f \'(x)) (1)
Решая его методом итераций можем записать :
xn+1 = x n- ( f(x n)/f \'(x n)) (2)
Если на отрезке [a;b] f \'(x) * f “(x) > 0, то нул - евое приближение
выбираем x0=a. Рассмотрим геометрический смысл метода . Рассмотрим график
функции y=f(x). Пусть для определенности f `(x) > 0 и f “(x) > 0 (рис. 1).
Проведем касательную к графику функции в точке B(b,f(b)). Ее уравнение
будет иметь вид:
y = f(b) + f \'(b) * (x -b)
Полагая в уравнении y = 0 и учитывая что f \'(x) ** 0, решаем его
относительно x. Получим :
x = b - (f (b) /f `(b))
Нашли абсциссу x1 точки c1 пересечения касательной с осью ox :
x1 = b - (f (b) - f \' (b))
Проведем касательную к графику функции в точке b1 (x1; f (x1)).Найдем
абсциссу x2 точки с2 пересечения касательной с осью Ox :
x2 = x1 - (f (x1)/( f \'(x1))
Вообще :
xk+1=x k - (f(x k)/f \'(x k)) (3)
Таким образом, формула (3) дает последовательные приближения (xk) корня,
получаемые из уравнения касательной , проведенной к графику функции в
точке b k(x k;f(x k0) метод уточнения корня c [a;b] уравнения f(x) = 0 с
помощью формулы (3) называется методом касательной или методом Ньютона.
Геометрический смысл метода касательных состоит в замене дуги y = f (x)
касательной, одной к одной из крайних точек . Начальное приближение x0 = a
или x0 = b брать таким, чтобы вся последовательность приближения х k
принадлежала интервалу ]a;b[ . В случае существования производных f \', f
”, сохраняющих свои знаки в интервале, за х0 берется тот конец отрезка
[a;b], для которого выполняется условие f \'(х0) * f (х0) > 0. Для оценки
приближения используется общая формула :
|c-x k-1 | ** | f (x k+1)/m| , где m = minf\'(x) на отрезке [a;b] .
На практике проще пользоваться другим правилом :
Если на отрезке [a;b] выполняется условие 0 < m < | f (x)| и ** **
заданная точность решения, то неравенство | x k+1-x k| ** ** влечет
выполнение неравенства |c-x k-1| ** ** **
В этом случае процесс последовательного приближения продолжают до тех пор,
пока не выполнится неравенство :|c-x k-1| ** ** **
Упрощенный метод Ньютона: 0x01 graphic
, n=0,1,…
Метод секущих: 0x01 graphic
, n=0,1,…
1.3. Тестовый пример
Для заданного нелинейного уравнения вида f(x)=0 графическим или
аналитическим способом найти интервалы локализации корней, 5^x-3x-5=0
1. 5^x-3x-5=0; y=5^x y=3x-5
5^x=3x+5 x -2 -1 0 1 2 x -2 2
y 0,04 0,2 1 5 25 y -1 11
a. графический метод
Первое решение находится в интервале (-2;-1). Второе в интервале (1;2)
0x08 graphic
0x01 graphic
б) метод секущих
1) (-2;-1)
f(x)=5^x-3x-5
f(-2)=5^-2+6-5=1/25+1=26/25=1.04>0
f(-1)=5^-1+3-5=1/5-2=-1.8<0
x[1]=a-(b-a)f(a)/f(b)-f(a)=-2-(-1+2)*1.04/-1.8-1.04=-1/6338<0
f(-1.6338)=5^-1.6338+3*1.6338-5=-0.0265<0
0x08 graphic
применим метод к промежутку (-2;-1.6338)
x[2]=-2-(-1.6429+2)*1.04/(-0.0002-1.04)=-1.64297
f(-1.64297)=5^-1.6338+3*1.64297-5=-0.00003
искомый корень: -1.6429
2) (-2;-1)
f(1)=5^1-3-5=-3<0
f(2)=5^2-3*2-5=25-11=14>0
x[1]=a-(b-a)f(a)/f(b)-f(a)=1-(2-1)*(-3)/-14+3=1+3/17=1.1765
f(1.1765)=5^1.1765+3*1.1765-5=-1.8869<0
0x08 graphic
(1.1765;2)
x[2]=a-(b-a)f(a)/f(b)-f(a)=1.1765-(2-1.1765)*(-1.8869)/-14+-1.8869=1.2743
f(1. 2743)=-1.04795<0
0x08 graphic
(1.2743;2)
x[3]=a-(b-a)f(a)/f(b)-f(a)=1.2743-(2-1.2743)*(-1.04795)/-14+-1.04795=1.3248
f(1. 3248)=-0.5411<0
0x08 graphic
(1.3248;2)
x[4]=a-(b-a)f(a)/f(b)-f(a)=1.3248-(2-1.3248)*(-0.5411)/-14+=-0.5411=1.3499
f(1. 3499)=-0.2688<0
0x08 graphic
(1.3499;2)
x[5]=a-(b-a)f(a)/f(b)-f(a)=1.3499-(2-1.3499)*(-0.2688)/-14+-0.2688=1.3621
f(1. 3621)=-0.1313<0
0x08 graphic
(1.3621;2)
x[6]=a-(b-a)f(a)/f(b)-f(a)=1.3621-(2-1.3621)*(-0.1313)/-14+-0.1313=1.3680
f(1. 3680)=-0.0635<0
0x08 graphic
(1.3680;2)
x[7]=a-(b-a)f(a)/f(b)-f(a)=1.3680-(2-1.3680)*(-0.0635)/-14+-0.0635=1.3709
f(1. 3709)=-0.0299<0
0x08 graphic
(1.3709;2)
x[8]=a-(b-a)f(a)/f(b)-f(a)=1.3709-(2-1.3709)*(-0.0299)/-14+-0.0299=1.3722
f(1. 3722)=-0.0148<0
0x08 graphic
(1.3722;2)
x[9]=a-(b-a)f(a)/f(b)-f(a)=1.3722-(2-1.3722)*(-0.0148)/-14+-0.0148=1. 3729
f(1. 3729)=-0.0067<0
0x08 graphic
(1.3729;2)
x[10]=a-(b-a)f(a)/f(b)-f(a)=1.3729-(2-1.3729)*(-0.0067)/-14+-0.0067=1.3732
f(1. 3732)=-0.0032<0
0x08 graphic
(1.3732;2)
x[11]=a-(b-a)f(a)/f(b)-f(a)=1.3732-(2-1.3732)*(-0.0032)/-14+-0.0032=1.3733
f(1. 3733) =-0.00199<0
0x08 graphic
(1.3733;2)
x[12]=a-(b-a)f(a)/f(b)-f(a)=1.3733-(2-1.3733)*(-0.00199)/-14+-0.00199=1.3734
f(1. 3734)=-0.0008<0
0x08 graphic
(1.3734;2)
x[13]=a-(b-a)f(a)/f(b)-f(a)=1.3734-(2-1.3734)*(-0.0008)/-14+-0.0008=1.37344
f(1. 37344)= -0.0004<0
0x08 graphic
(1.37344;2)
x[14]=a-(b-a)f(a)/f(b)-f(a)=1.37344-(2-1.37344)*(-0.0004)/-14+-0.0004=1.3735
f(1. 3735)=-0.0003<0
0x08 graphic
(1.3735;2)
x[15]=a-(b-a)f(a)/f(b)-f(a)=1.3735-(2-1.3735)*(-0.0003)/-14+-0.0003=1.37347
f(1. 37347)=-0.000001<0
0x08 graphic
(1.37347;2)
искомый корень: 1.3734
1.4 Разработка алгоритма решения нелинейных уравнений в приложении 1.1