Аннотация
В курсовой работе рассматриваются вопросы интерполяции с применением
формулы Ньютона. В работе предложены программы вычисления значения функции
в заданной точке, а также вычисления значения нелинейного уравнения
методом секущих написанных на языке программирования Turbo С 2.0.
Содержание
Введение 4
1. Метод решения нелинейного уравнения методом секущих 7
1.1. Общая характеристика методов решения нелинейных уравнений 7
1.2. Метод секущих 10
1.3. Тестовый пример 12
1.4. Разработка алгоритма решения нелинейных уравнений 15
2. Вычисление значения функции при помощи интерполяционной формулы 16
2.1. Общая характеристика методов интерполяционной функции 16
2.2. Интерполяционная формула Ньютона 24
2.3. Тестовый пример 25
2.4. Разработка алгоритма и программы вычисления функции 26
Заключение 27
Список литературы 28
Приложение 1.1 29
Приложение 2.1 31
Введение
Целью курсовой работы является разработка программы решения нелинейных и
трансцендентных уравнений методом секущих - хорд. Программа включает и
учитывает многие новые возможности в программировании и практике создания
программ в среде программирования С.
Процедура подготовки и решения задачи на ЭВМ достаточно сложный и
трудоемкий процесс, состоящий из следующих этапов:
1. Численные методы линейной алгебры
Метод Гаусса для решения системы линейных алгебраических уравнений.
Устойчивость метода Гаусса. Использование метода Гаусса для вычисление
обратной матрицы. Метод квадратного корня.
Решение систем линейных алгебраических уравнений с ленточными матрицами.
Пример решения линейной системы с трехдиагональной матрицей.
Одношаговые итерационные методы решения систем линейных алгебраических
уравнений. Каноническая форма записи. Примеры одношаговых итерационных
методов. Достаточное условие сходимости.
Необходимое и достаточное условие сходимости одношаговых стационарных
итерационных методов. Теорема о сходимости одношаговых стационарных
итерационных методов. Оценка скорости сходимости. Неявный итерационный
метод с чебышевским набором параметров. Оценка скорости сходимости.
Численная устойчивость итерационного метода с чебышевским набором
параметров. Упорядоченный набор итерационных параметров (пример).
Одношаговые итерационные методы вариационного типа. Формула для вычисления
итерационного параметра.
Примеры итерационных методов вариационного типа (метод скорейшего спуска;
метол минимальных невязок; метод минимальных поправок; метод минимальных
погрешностей) . Каноническая форма записи двухшаговых итерационных методов
вариационного типа.
Примеры двухшаговых итерационных методов (метод сопряженных градиентов,
сопряженных невязок, сопряженных поправок, сопряженных погрешностей).
Полная и частичная проблема собственных значений.
Степенной метод решения частичной проблемы собственных значений. Решение
полной проблемы собственных значений методом вращений. Метод обратной
итерации.
2. Решение нелинейных уравнений и систем уравнений.
Решение нелинейных уравнений. Методы разделения корней. Примеры численных
методов решения нелинейных уравнений (метод простой итерации, метод
Ньютона, модифицированный метод Ньютона, метод секущих).
Сходимость метода простой итерации.
Метод Эйткена ускорения сходимости.
Сходимость метода Ньютона.
Решение систем нелинейных уравнений.
Примеры (применение метода простой итерации; сравнение скорости сходимости
метода простой итерации и метода Ньютона; применение метода Ньютона для
решения системы двух нелинейных уравнений).
3. Интерполяция и приближение функций.
Постановка задачи интерполирования алгебраическими многочленами.
Интерполяционная формула Лагранжа. Интерполяционная формула Ньютона
(разделенные разности, схема Горнера).
Интерполирование с кратными узлами (существование и единственность
многочлена Эрмита, погрешность интерполирования с кратными узлами). Пример
(многочлен Эрмита третьей степени). Сходимость интерполяционного процесса.
Интерполирование сплайнами. Кубический сплайн. Наилучшее приближение
функции, заданной таблично (пример). Наилучшее приближение в гильбертовом
пространстве.