4. Второй модифицированный метод Эйлера

Этот метод иногда называют методом Эйлера с пересчетом.

Сначала определяют значение ординаты y_E в точке E как и в методе Эйлера (Рис.4.): y_E=y_i+hf(x_i, y_i).

В точке E вычисляют направление проходящей через нее интегральной кривой f_E=f(x_i+1,y_E).

В качестве окончательного значения направления кривой на всем отрезке h принимают среднее арифметическое значение от направлений f(x_i , y_i) и f_E , т.е. ординату точки A_i+1 вычисляют по формуле

.

Подставив в последнюю формулу два предыдущих выражения, получим одну результирующую формулу для вычисления ординаты точки A_i+1:

.

Локальная погрешность обоих модифицированных методов О(h³) , глобальная - О(h²) .

В литературе второй метод Эйлера называют иногда исправленным методом Эйлера, или методом Эйлера-Коши, а первый модифицированный метод Эйлера – усовершенствованным .Все методы Эйлера являются явными и одношаговыми , поскольку для вычисления последующего приближения необходимо знать только значение функции f(x,y) на предыдущем шаге.

Пример 1.

Рассмотрим Задачу Коши

Пусть шаг h=0,1

Согласно формуле метода Эйлера имеем:

Согласно первому модифицированному методу Эйлера :

Тогда имеем :

Пример 2..

Рассмотрим Задачу Коши

Пусть шаг h=0,1

Точное решение

Согласно формуле метода Эйлера имеем:

Согласно первому модифицированному методу Эйлера :

Тогда имеем :

Для сравнения точное решение в точках x

9

стр. из 9