Определитель этой матрицы (якобиан) определяется выражением
(2.16)
Выражение, стоящее в квадратных скобках, имеет простой геометрический смысл: оно представляет собой проекцию ломаной ВСD на направление, перпендикулярное звену АВ. Можно показать также, что в двух положениях механизма, соответствующих одним и тем же значениям q1, q2, q3 (см. рис. 2.6), значения якобиана (2.16) одинаковы по значению и противоположны по знаку.
В
Н
а
рис. 2.7 дана условная геометрическая
интерпретация метода Ньютона, относящаяся
к случаю, когда векторы
и
- одномерные. Для того, чтобы избежать
многократного вычисления матрицы
,
обратной матрице Якоби, можно пользоваться
модифицированным методом Ньютона, при
котором используется процедура,
соответствующая формуле
k=1,2,…
. (2.17)
где
Положение механизма, близкое к исходному, не может быть получено описанным выше способом, если определитель матрицы Якоби обращается в ноль. В рассматриваемом примере якобиан (2.16) обращается в ноль в тех положениях, при которых точки А, В и D располагаются на одной прямой (рис. 2.8). Это – особое (сингулярное) положение группы АВСD. Основываясь на данном примере, можно дать следующее определение: особое положение группы – такое, в котором якобиан обращается в ноль.
В особом положении два решения уравнения (2.11) сливаются в одно. Естественно, что в окрестностях особого положения оба решения этого уравнения оказываются близкими, и выбор одного из них становится затруднительным. Чем ближе к нулю значение якобиана, тем хуже сходятся последовательные приближения. Однако это еще не все неприятные факторы, связанные с особыми положениями. О них разговор пойдет при рассмотрении других разделов.
-
Повторить по лекции 3:
Термины:
-
Функция положения;
-
Прямая задача геометрического анализа;
-
Обратная задача геометрического анализа;
-
Входные и выходные координаты группы;
-
Групповые уравнения;
-
Способ сборки;
-
Особое (сингулярное) положение;
-
Якобиан (определитель матрицы Якоби).
Формулы:
-
Метод Ньютона (метод касательных);
-
Модифицированный метод Ньютона (метод секущих).
-