А.Н.Евграфов, Г.Н.Петров. Теория механизмов и машин. Лекция 5.

4. Геометрический анализ исполнительных механизмов промышленных роботов

С уществуют механизмы, для которых невозможно построить функцию положения рассмотренным ранее способом. Это – разомкнутые механизмы: для них нельзя составить условие замыкания. Модель разомкнутого механизма используется для описания исполнительных механизмов промышленных роботов, грузоподъемных механизмов и т.п. (см., например, рис. 1.11 из лекции 1).

Д ля того, чтобы решить указанную проблему, был предложен следующий метод. Свяжем с некоторым s-м звеном исполнительного механизма систему координат 0_sx_sy_sz_s, а со звеном (s-1) –систему координат 0_s-1x_s-1y_s-1z_s-1 (рис. 2.11). Составим вспомогательную табличку, в которой укажем косинусы углов между осями s-й и (s-1)-й системами координат:

Таблица направляющих косинусов

	Xs	Ys	Zs
Xs-1	Cos(Xs-1,Xs)	Cos(Xs-1,Ys)	Cos(Xs-1,Zs)
Ys-1	Cos(Ys-1,Xs)	Cos(Ys-1,Ys)	Cos(Ys-1,Zs)
Zs-1	Cos(Zs-1,Xs)	Cos(Zs-1,Ys)	Cos(Zs-1,Zs)

Обычно для краткости эти косинусы обозначают буквами :

	Xs	Ys	Zs
Xs-1	11	12	13
Ys-1	21	22	23
Zs-1	31	32	33

Элементы этой таблицы имеют следующие свойства:

• Сумма квадратов косинусов в каждой строке равна единице, т.е.

²₁₁ + ²₁₂ + ²₁₃ = 1;

²₂₁ + ²₂₂ + ²₂₃ = 1;

²₃₁ + ²₃₂ + ²₃₃ = 1;

• Сумма попарных произведений равна 0, т.е.

₁₁ ₂₁+ ₁₂₂₂ + ₁₃₂₃ = 0;

₂₁ ₃₁+ ₂₂₃₂ + ₂₃₃₃ = 0;

₁₁ ₃₁+ ₁₂₃₂ + ₁₃₃₃ = 0.

Таким образом, все элементы таблицы не являются независимыми, и их можно выразить через три параметра, например, через углы Эйлера.

Положение s-й системы координат относительно (s-1)–й определяется вектором 0_s-10_s, связывающим начала систем координат, и матрицей направляющих косинусов А_s-1,s, полученной из таблицы направляющих косинусов:

. (2.39)

Матрицы А_s-1,s обладают важным свойством. Если А_s-1,s и А_s,s+1 – матрицы направляющих косинусов между осями соответственно (s-1) –й и s –й и s – й и (s+1) – й систем координат, то

А_s-1,s+1 = А_s-1,s А_s,s+1 (2.40)

Пусть на s-м звене имеется некоторая точка М. Соединив ее с точками 0_s-1 и 0_s, построим векторы 0_s-1M и 0_sM. Для них можно записать следующее векторное равенство:

0_s-1M = 0_s-10_s + 0_sM (2.41)

Вектор 0_s-1M может быть задан проекциями на оси какой-либо системы координат, например, (s-1)-й:

. (2.42)

Аналогично можно задать вектор 0_sM проекциями на оси s-й системы координат:

, (2.43)

а вектор 0_s-10_s - проекциями на оси (s-1) –й системы координат:

(2.44)

Используя представления (2.42-2.44), можно записать выражение (2.41) в проекциях на оси (s-1)-й системы координат:

(2.45)

Из (2.45) следует, что, если нам известно положение точки М на s-м звене и положение s-го звена относительно (s-1)-го, то можно получить координаты точки М на (s-1)-м звене. Перемещаясь далее к (s-2)-му , (s-3) –му и т.д. звеньям, можно дойти до стойки и получить координаты точки М в неподвижной системе.

В соотношении (2.45) есть некоторое неудобство, заключающееся в том, что операция умножения матриц чередуется с операцией сложения. Для того, чтобы оставить только операции умножения матриц, обычно вводят четырехмерные векторы-столбцы координат:

, , (2.46)

а также блочные матрицы 4х4:

. (2.47)

Матрицы H_s-1,s называются матрицами перехода от s-й системы координат к (s-1)-й системе. Тогда соотношение (2.45) можно записать в виде:

(2.48)

Перемножая последовательно матрицы перехода, можно дойти до неподвижной системы координат:

(2.49)

Здесь - вектор-столбец координат точки М в системе, связанной со звеном n, а - вектор-столбец координат точки М в неподвижной системе. Таким образом, выражение (2.49) дает возможность построить функцию положения некоторой точки в явном виде. Для того, чтобы это сделать, нужно составить матрицы перехода. Рассмотрим подробнее матрицы перехода для двух наиболее часто встречающихся видов кинематических пар – вращательной и поступательной.

1. Матрица перехода во вращательной кинематической паре.

Пусть звенья s и (s-1) связаны вращательной кинематической парой ( рис. 2.12). Обобщенная координата q_s представляет собой угол поворота s-го звена относительно (s-1)-го. Для определенности условимся выбирать систему координат, связанную с s-м звеном, таким образом, чтобы ось 0z_s совпадала с осью вращения во вращательной КП.

В ыберем некоторое положение звена s за начальное и обозначим его знаком (*); соответственно s-я система координат в начальном положении будет обозначена 0_s^*х_s^*у_s^*z_s^*. В результате получили три системы координат: 0_s-1x_s-1y_s-1z_s-1, связанную со звеном (s-1), 0_s^*х_s^*у_s^*z_s^*, определяющую начальное положение s-го звена относительно (s-1)-го, и 0_s^*х_s^*у_s^*z_s^*, связанную с s-м звеном. Угол поворота системы координат 0_sх_sу_sz_s относительно 0_s^*х_s^*у_s^*z_s^* является углом q_s. В соответствии с (2.40) матрица направляющих косинусов А_s-1,s равна:

(2.50)

Матрица А_s-1,s*(0) является постоянной, поскольку начальное положение s-го звена относительно (s-1)-го в процессе работы механизма не меняется. Матрица A_s*,s(q_s) является функцией обобщенной координаты q_s. Для ее построения составим таблицу направляющих косинусов.

	Xs	Ys	Zs
Xs*	Cos(qs)	Cos(qs+/2)	Cos(/2)
Ys*	Cos(3/2+qs)	Cos(qs)	Cos(/2)
Zs*	Cos(/2)	Cos(/2)	Cos(0)

Тогда матрица А_s*,s(q_s) равна:

(2.51)

Матрица P_z(q_s) называется матрицей поворота. Матрица перехода во вращательной кинематической паре примет вид:

(2.52)

Отметим, что в матрице (2.52) переменной составляющей является только матрица поворота (2.51); остальные элементы – постоянные. Начальное положение s^* удобно выбирать так, чтобы матрица A_s-1,s*(0) простой вид.

2. Матрица перехода в поступательной кинематической паре.

П усть звенья s и (s-1) связаны поступательной кинематической парой (рис. 2.13), тогда обобщенная координата q_s – поступательное перемещение звена s относительно звена (s-1). Свяжем со звеном (s-1) систему координат 0_s-1x_s-1y_s-1z_s-1, а со звеном s – систему координат 0_sx_sy_sz_s. Для определенности условимся так выбирать систему координат 0_sx_sy_sz_s, чтобы ось 0х_s совпадала с линией относительного перемещения звеньев s и (s-1). Отметим, что в процессе работы механизма углы между звеньями s и (s-1) и соответствующими системами координат не меняются, поэтому А_s-1,s=const; перемещается точка отсчета 0s относительно звена (s-1). Пусть в начальном положении при q_s = 0 система 0_sx_sy_sz_s занимает положение 0_s^*x_s^*y_s^*z_s^*. Начальное положение определяется вектором . Найдем вектор :

(2.53)

Составим матрицу перехода в поступательной паре:

(2.54)

Подчеркнем, что в матрице (2.54) переменным является только второй блок, определяющий положение точки 0_s в системе координат (s-1).

Рассмотрим пример (рис. 2.14). Исполнительный механизм промышленного робота состоит из трех подвижных звеньев, связанных тремя кинематическими парами: двумя вращательными и одной поступательной. Из формулы Малышева следует, что механизм обладает тремя степенями подвижности: W=6(4-1)-53=3. Следовательно, надо задать три обобщенные координаты: q₁, q₂, q₃. Свяжем с каждым из подвижных звеньев локальные системы координат 0₁x₁y₁z₁, 0₂x₂y₂z₂, 0₃x₃y₃z₃ так, как показано на рисунке. Зададим начальное положение каждой из систем координат: 0₁^*x₁^*y₁^*z₁^*, 0₂^*x₂^*y₂^*z₂^*, 0₃^*x₃^*y₃^*z₃^*. Для удобства зададим начальное положение звена 1 так, чтобы система координат 0₁^*x₁^*y₁^*z₁^* совпадала с неподвижной системой 0x₀y₀z₀. Зададим конструктивные параметры схемы a, b, c и входные обобщенные координаты q₁, q₂, q₃. Требуется построить ф ункцию положения точки М, принадлежащей третьему звену, или, иначе говоря, найти координаты точки М в неподвижной системе отсчета .

Решение. Положение точки М в системе координат 0₃х₃у₃z₃ можно задать вектором-столбцом:

.

В соответствии с (2.49) . Составим матрицы перехода.

Для составления матрицы А₁₂ построим таблицу направляющих косинусов:

	X2	Y2	Z2
X1	0	0	1
Y1	0	-1	0
Z1	1	0	0

Тогда матрица перехода Н₁₂(q₂):

Для построения матрицы А_23*(0) составим таблицу направляющих косинусов:

	X3*	Y3*	Z3*
X2	0	1	0
Y2	-1	0	0
Z2	0	0	1

Найдем матрицу перехода :

Подставляя найденные матрицы перехода, получим:

Окончательное выражение для получить самостоятельно.