А.Н.Евграфов, Г.Н.Петров. Теория механизмов и машин. Лекция 13.

7. Свойства эвольвенты окружности и эвольвентного зацепления

В качестве главного профиля зубьев цилиндрических зубчатых колес, применяемых в машиностроении, наибольшее распространение получил эвольвентный профиль. Плоская эвольвента окружности представляет собой траекторию любой точки прямой линии, перекатываемой без скольжения по эволюте, т.е. по основной окружности радиуса r_b (рис. 3.41). Перекатываемая по основной окружности прямая называется производящей прямой. Рассмотрим более подробно свойства эвольвенты окружности.

1. Нормаль к эвольвентам (прямая КС) касается основной окружности, причем точка касания (С) является центром кривизны эвольвент.

2. Все эвольвенты одной основной окружности эквидистантны, и расстояние KD между ними равно длине дуги К₀D₀.

3. Каждая ветвь эвольвенты вполне определяется радиусам основной окружности и положением начала отсчета эвольвентного угла.

4. Эвольвента не имеет точек внутри основной окружности.

Из свойств эвольвенты вытекают свойства эвольвентного зацепления. Пусть профиль зуба колеса 1 (рис. 3.42) очерчен по эольвенте основной окружности с радиусом r_b1, а профиль зуба колеса 2 – по эвольвенте основной окружности радиуса r_b2. Поместим центры этих окружностей в центры вращения 0₁ и 0₂. Нормаль к эвольвенте первого колеса должна быть касательной к основной окружности первого колеса, а нормаль к эвольвенте второго колеса должна быть касательной к основной окружности второго колеса. В точке касания эвольвент нормаль должна быть общей к обоим профилям, и, следовательно, точка контакта лежит на общей касательной к основным окружностям. При вращении ведущего колеса 1 против часовой стрелки, а ведомого колеса 2 – по часовой (рис. 3.42, а) точка касания эвольвент перемещается по отрезку В₁В₂ этой касательной, т.к. вне отрезка В₁В₂ эвольвенты не могут касаться, т.е. иметь общую нормаль; В₁В₂ является линией зацепления.

Точка пересечения общей нормали к эвольвентам с линией межосевого расстояния 0₁0₂ является полюсом зацепления Р и занимает неизменное положение.

Если направление вращение ведущего колеса 1 и ведомого колеса 2 изменится, то линия зацепления В₁В₂, по которой перемещается точка контакта, займет новой положение (рис. 3.42, б).

У гол между линией зацепления В₁В₂ и прямой, перпендикулярной линии межосевого расстояния, называется углом зацепления и обозначается через _w. Углы РВ₁0₁ и РВ₂0₂ равны углу зацепления _w как углы с соответственно перпендикулярными сторонами. Поскольку Р0₁ = r_w1, а Р0₂ = r_w2, то

(3.87)

Следовательно, при эвольвентном зацеплении передаточное отношение может быть выражено через отношение радиусов основных окружностей:

(3.88)

причем знак плюс относится к внутреннему зацеплению, а знак минус – к внешнему.

Из формулы (3.88) видно, что при эвольвентном зацеплении изменение межосевого расстояния не влияет на значение передаточного отношения вследствие неизменности радиусов основных окружностей. При изменении межосевого расстояния изменяются лишь радиусы начальных окружностей и угол зацепления.

С войства эвольвентного зацепления иллюстрирует аналогия с перекрестно-ременной передачей (рис. 3.43). Линия зацепления как бы сматывается с ведущего шкива 1 радиуса r_b1 и наматывается на шкив 2 радиуса r_b2. (ветвь I при вращении ведущего шкива 1 против часовой стрелки и ветвь II при вращении шкива 1 по часовой стрелке. При изменении межосевого расстояния 0₁0₂ передаточное отношение, обратно пропорциональное отношению радиусов шкивов r_b2 и r_b1, не изменяется.