Оптимизационное моделирование. Поиск решения

В сфере управления сложными системами применяется оптимизационное моделирование, целью которого является поиск наиболее оптимального пути развития системы. Объектами оптимизации могут быть различные системы: отдельное предприятие, отрасль производства, регион, государство. Критерием оптимальности могут быть различные параметры, например, в экономике можно стремится к максимальному количеству выпускаемой продукции или к низкой себестоимости или к минимальным затратам энергоресурсов и материалов.

Развитие сложных систем зависит от множества параметров, имеется некая стратегическая цель, зависящая от этих параметров. Выражением этой зависимости является целевая функция

F = F(X₁,X₂,…X_n),- значение целевого параметра, X₁,X₂,…X_n - параметры влияющие на развитие системы.

Цель исследования заключается в нахождении экстремума (максимума или минимума) целевой функции и определения значений параметров, при которых он достигается.

Решение задач оптимального моделирования рассматривается в разделе математики – математическое программирование. Если целевая функция является линейной, то такие задачи рассматриваются в разделе линейное программирование. Задача поиска оптимального решения при линейной зависимости приобретает смысл только при наличии определенных ограничений на параметры, т.к. линейная функция не имеет экстремумов.

В общем виде задача формируется так:

F=

и удовлетворяет условиям, называемым системой ограничений:

Для решения задач линейного и нелинейного программирования в Excel имеется надстройка "Поиск решения". От пользователя требуется лишь правильно сформулировать условие задачи, и если решение существует, то "Поиск решения" отыщет его. Эта надстройка позволяет использовать большое количество изменяемых ячеек, задавать ограничения для изменяемых ячеек.

"Поиск решения" определяет не заранее известный конкретный результат для целевой функции, как в случае использования метода "Подбор параметра", а определяет оптимальное, т.е. лучшее из возможных.

Для задач использующих поиск решения имеется ряд общих свойств:

1. существует единственная целевая ячейка, которая содержит формулу, значение которой может быть максимальным или минимальным или равным конкретному значению.

2. формула содержит ссылки на ряд изменяемых ячеек, поиск решения подбирает такое значение переменных, которое оптимизирует значение в целевой ячейке.

Алгоритм решения задач для нахождения оптимального решения при помощи целевой функции:

1. задать исходные данные;

2. определить какие параметры системы влияют на целевую функцию;

3. выявить вид целевой функции;

4. определить, что надо найти МАКСИМУМ или МИНИМУМ;

5. записать какие ограничения накладываются на параметры входящие в целевую функцию, если функция линейная;

6. воспользоваться Excel для поиска решения (Сервис – Поиск решения).

Примеры классических задач:

Задача о раскрое

Постановка задачи: в ходе производства из листов материала получают заготовки деталей двух типов А и Б, раскроенных тремя различными способами, при этом количество заготовок получаемых из листа материала при каждом методе различно. Найти оптимальное сочетание способов раскроя, для получения 500 заготовок А и 300 заготовок Б при расходовании минимального количества материалов. При 1 методе получаем 10 заготовок А и 3 заготовки Б; при 2-м; 3 заготовки А и 6 заготовок Б; при 3-м соответственно 8 заготовок А и 4 – Б.

Сформулируем задачу иначе, сколько заготовок надо раскроить 1, 2 и 3 способом, чтобы получить 500 заготовок А типа и 300 заготовок Б типа, израсходовав минимальное количество материала.

Способы раскроя	Заготовка А	Заготовка Б
1	10	3
2	3	6
3	8	4

Обозначим :

Х1-кол-во листов раскроенных 1 способом

Х2-кол-во листов раскроенных 2 способом

Х3-кол-во листов раскроенных 3 способом

Целевая функция F=Х1+Х2+Х3

Ограничения заданы:

10*Х1+3*Х2+8*Х3=500

3*Х1+6*Х2+4*Х3=300

кроме того Х1>=0; Х2>=0; Х3>=0, т.к. количество деталей не может быть отрицательным.

Теперь можно перейти к выполнению этой задачи на компьютере.

1. Сервис---Надстройки----поставит флажок Поиск решения (включить, если нет этой надстройки)

2. Разместим данные в ячейках

Параметры	Х1	Х2	Х3
	0	0	0
А	10	3	8
Б	3	6	4
Целевая ф.	=сумм(Х1:Х3)
Ограничения
	=10*Х1+3*Х2+8*Х3	=	500
	=3*Х1+6*Х2+4*Х3	=	300
	Х1:Х3	>=	0
	Х1:Х3	=	цел

3. Перейдем к Поиску решения

   • Поиск решения---

   • Установить адрес целевой функции

   • Установить вариант целевой функции (здесь - минимальное значение)

   • Установить диапазон изменяемых ячеек

   • Установит ограничения (кнопка добавить), ссылки на ячейки, содержащие ограничения.

   • Настроить Параметры: Линейная модель;

   • Выполнить, в целевой ячейке появится найденное значение, а в ячейках параметров значения Х1, Х2, Х3

задача о раскрое
Параметры	Х1	Х2	Х3
	20	20	30
А	10	3	8
Б	3	6	4
Целевая функция	70
Ограничения
	500,00	=	500
	300,00	=	300