4. . Доходность и волатильность портфеля активов

Пусть имеется портфель, состоящий из n видов активов. Его волатильность определяется формулой (1.15). Доходность портфеля R может быть вычислена как средневзвешенная величина:

(1.30) R = ∑ a_i r_i ,

где r_i – доходность актива вида i;

a_i – доля актива i;

n - количество видов активов.

Для наглядности целесообразно рассмотреть портфель, состоящий из двух активов. При этом проще показать, какое влияние оказывают на портфель в целом его структура, а также волатильности и доходности составляющих его активов. В данном случае следует исходить из того, что характеристики портфеля – волатильность и доходность определяются формулами:

(1.31) R = a₁r₁ + a₂r_{2 ,}

(1.32) σ²_Р = а²₁ σ²₁ + а²₂ σ²₂ + 2ρ₁₂ а₁а₂σ₁σ₂

В дополнение к рассмотренному следует заметить, что одним из способов уменьшения волатильности является изменение структуры портфеля, когда в его состав включается безрисковый актив. Такими активами обычно называются ценные бумаги, выпускаемые уполномоченными государственными органами. Обозначенную процедуру можно осуществить двумя путями:

• заменить актив с высокой волатильностью на безрисковый;

• добавить к существующим активам безрисковый.

Предполагая, что волатильность второго актива выше, полностью заменим его в портфеле безрисковым. Очевидно, что такой актив обладает нулевыми значениями дисперсии и ковариации.

Определим характеристики вновь образованного портфеля:

(1.33) R = a₁r₁ + a₂r_б = r_б + (r₁ – r_б)a₁

(1.34) σ = а₁σ_1.

Таким образом, замена рискового актива на безрисковый приводит к снижению волатильности портфеля и его доходности (с увеличением доли безрискового актива).

Из (1.33) и (1.34) можно получить следующее:

(1.35) R = r_б + (r₁ – r_б) σ /σ₁ .

Из полученного соотношения следует, что доходность и волатильность полученного портфеля линейно зависимы. Дробь в выражении (1.35) обычно называется ценой за риск.

Теперь дополним портфель с двумя активами безрисковой составляющей, доля которой равна а₃, и в этих условиях определим состав портфеля, волатильность которого является минимальной. При наличии корреляции между первыми двумя активами получаем:

(1.36) (a₁)_min =

(1.37) (a₂)_min = 1 – (a₁)_min – a₃

При отсутствии корреляции (ρ₁₂ = 0) формула (1.31) имеет вид:

(1.38) (a₁)_min =

Доходность и волатильность портфеля определялись в рамках заданной его структуры. Однако существуют постановки задачи, когда определяется структура портфеля, при которой необходимо достижение максимума доходности при допустимом значении риска (1.39) или, наоборот, обеспечить минимум риска при заданной величине доходности (1.40):

(1.39) R → max; σ_Р ≤ σ_max

(1.40) σ_Р → min; R ≥ R_min

Задачи такого рода были рассмотрены и решены Г. Марковитцем.

Пример 3. Вернемся к Примеру 1. На основе приведенных данных необходимо оценить структуру портфеля в условиях:

1. Замены актива Б безрисковой составляющей с параметрами – r_б=4,5%, σ_б=0.

2. Добавления к имеющимся активам 20% вышеприведенного безрискового актива.

При этом имеются следующие характеристики:

А_ср = 7,246; Б_ср =7,424

σ²_А = 0,659; σ²_Б = 2,137

σ_А = 0,812; σ_Б = 1,462.

Cov(А,Б) = -0,197;

ρ_АБ = = -0,166.

σ_Р = 1,15%

Рассмотрим первый случай. Очевидно, что

a_А = 0,2; a₃ = 1 - a_А = 0,8.

В соответствии с (1.34)

σ_Р = а_Аσ_А = 0,2 *0,812 = 0,162

R = a_АА_ср + r_б a₃ = 0,2*7,246 + 0,8*4,5 = 5,049.

Здесь резкое снижение риска влечет за собой и существенное снижение доходности.

Рассмотрим случай №2. Здесь имеем a₃ = 0,2. Используя формулы (1.36) и (1.37), можно получить

(a_А)_min = (σ²_Б – ρ_АБ σ_Аσ_Б)(1 – a₃)/(σ²_А+σ²_Б – 2ρ_АБ σ_Аσ_Б)= 0,586,

(a_Б)_min = 1 – (a₁)_min – a₃ = 1 – 0,586 – 0,2 = 0,214.

Теперь можно определить значения волатильности и доходности:

σ_Р =(0,586² *0,659+0,214² *2,137-2*0,166*0,586*0,214*0,812*1,462) ^½= 0,569

R = a_АА_ср + Б_ср a_Б + r_б a₃ = 0,586*7,246 + 0,214*7,424 + 0,2*4,5 = 6,935

Выбор такой структуры портфеля уменьшает значение волатильности и снижает уровень доходности по сравнению с портфелем из Примера 2.