3. . Влияние диверсификации на волатильность портфеля

Диверсификация – общепринятое средство сокращения любого вида риска. В финансовом анализе признано, что с увеличением числа элементов набора активов (портфеля) в большинстве случаев уменьшается общий размер риска. Только тогда, когда риск может быть измерен и представлен в виде статистического параметра, диверсификация получает надежное основание.

Определим, что дает диверсификация для уменьшения такой меры риска, как дисперсия и выявим условия достижения этой цели. Диверсификация основана на простой гипотезе. Если каждая составляющая портфеля характеризуется определенной дисперсией дохода, то доход портфеля в целом имеет дисперсию, определяемую его составом. Следовательно, изменяя состав портфеля, можно надеяться на уменьшение суммарной дисперсии дохода и найти ее минимальное значение.

Пусть портфель состоит из n различного вида активов, имеющих одинаковую дисперсию дохода– σ². Удельный вес каждого актива в портфеле одинаков и составляет – а = 1/n. Предположим также, что показатели доходности у данных активов статистически независимы, т.е. приняв ρ_ij = 0, в соответствии с (1.15) получим:

(1.17) σ²_Р = а²_i σ²_i.

А поскольку, а = 1/n, то из (1.17) следует:

(1.18) σ²_Р = а²_i σ²_i = nа² σ² = n(1/n)² σ² = σ²/n

Таким образом, с увеличением количества составляющих портфеля его волатильность уменьшается даже при их одинаковой дисперсии.

В соответствии с (1.15), значение волатильности доходности портфеля зависит от трех факторов: СКО его составляющих, степени их коррелированности и, собственно, самой структуры портфеля. Влияние СКО очевидно: чем они выше, тем больше значение волатильности портфеля. Интерес представляет влияние на риск портфеля остальных факторов.

Рассмотрим простейший случай, когда портфель состоит из двух активов. Как это следует из (1.14), положительная корреляция увеличивает волатильность портфеля, а отрицательная – уменьшает.

Интерес представляет рассмотрение трех случаев:

1) имеет место полная коррелированность активов – ρ₁₂ = +1, и значения их СКО одинаковы – σ₁ = σ₂ = σ. Тогда при любой структуре портфеля согласно (1.14) выполняется соотношение σ_Р = σ:

(1.19) σ²_Р = а²₁ σ² + а²₂ σ² + 2а₁а₂σσ = σ²(а₁ + а₂)² = σ²(1)² = σ²

Таким образом, при полной положительной корреляции активов портфеля диверсификация не влияет на величину его волатильности;

2) при полной отрицательной коррелированности активов (ρ₁₂ = -1) и выполнении условия σ₁ = σ₂ = σ значение волатильности доходности портфеля существенно зависит от его структуры:

(1.20) σ²_Р = а²₁ σ² + а²₂ σ² – 2а₁а₂σσ = σ²(а₁ – а₂)² = σ²(2а₁ – 1)²,

поскольку а₁ + а₂ = 1, то а₂ = 1 – а₁ . Отсюда получается

(1.21) σ_Р = σ|2а₁ – 1|.

При изменении доли первого актива а₁ от 0 до 0,5 значение σ_Р уменьшается от σ до 0 и, соответственно, изменение величины а₁ от 0,5 до 1 приводит к возрастанию параметра σ_Р от 0 до σ. Таким образом, волатильность в зависимости от структуры портфеля находится в пределах от 0 до σ;

3) при выполнении того же условия σ₁ = σ₂ = σ и отсутствии корреляции между активами, составляющими портфель, т.е. ρ₁₂ = 0, значение волатильности доходности портфеля также существенно зависит от его структуры:

(1.22) σ²_Р = а²₁ σ² + а²₂ σ² = σ²(а²₁ + а²₂) = σ²(2а²₁ – 2а₁ + 1).

В данном случае при а₁=1 и а₁=0 получаем σ_Р = σ. Минимальное значение волатильности σ²_Р = σ²/2 достигается при а₁ = 0,5.

Следовательно, волатильность портфеля с двумя активами можно минимизировать только при отсутствии или отрицательной корреляции доходностей. Характерно, что при этом волатильность портфеля может оказаться меньше, чем СКО отдельного актива, или равной нулю.

В общем случае, когда σ₁ ≠ σ₂, получается следующее:

1) при ρ₁₂ = +1, в соответствии с (1.14), получаем:

(1.23) σ²_Р = а²₁ σ²₁ + а²₂ σ²₂ + 2а₁а₂σ₁σ₂ = (σ₁а₁ + σ₂а₂)², или

(1.24) σ_Р = σ₁а₁ + σ₂а₂ = а₁ (σ₁ – σ₂) + σ_{2 .}

Как оказалось, волатильность портфеля – линейная функция доли первого актива, она изменяется от σ₁ до σ₂;

2) при ρ₁₂ = -1, опять же, в соответствии с (1.14), получаем:

(1.25) σ²_Р = а²₁ σ²₁ + а²₂ σ²₂ – 2а₁а₂σ₁σ₂ = (σ₁а₁ – σ₂а₂)², или

(1.26) σ_Р = |σ₁а₁ – σ₂а₂|= |а₁ (σ₁ + σ₂) – σ₂|_.

В данном варианте волатильность при изменении доли первого актива а₁ от 0 до значения σ₂/(σ₁ + σ₂) уменьшается от σ₂ до 0 и, соответственно, изменение величины а₁ от σ₂/(σ₁ + σ₂) до 1 приводит к возрастанию параметра σ_Р от 0 до σ₁. Таким образом, волатильность в зависимости от структуры портфеля находится в пределах от 0 до σ₀=max(σ₁, σ₂);

3) в случае отсутствия корреляции – ρ₁₂ = 0, получаем:

(1.27) σ²_Р = а²₁σ²₁+а²₂σ²₂ = а²₁σ²₁+(1–а₁)² σ²₂ = а²₁(σ²₁+σ²₂)-2а₁σ²₂+σ²₂

Очевидно, функция σ_Р = σ_Р(а₁) > 0, выпукла вниз (σ^’’_Р > 0) и достигает минимума (σ^’_Р = 0) в точке а₁= σ²₂/(σ²₁+σ²₂). Это значение равно

(1.28) (σ_Р)_min = σ₁σ₂ /(σ²₁+σ²₂)^½

В общем случае минимальное значение волатильности достигается тогда, когда доля одного из двух активов портфеля равна:

(1.29) (a₁)_min = (σ²₂ – ρ₁₂ σ₁σ₂)/(σ²₁+σ²₂ – 2ρ₁₂ σ₁σ₂ )

Пример 2. Вернемся к Примеру 1. Необходимо определить структуру портфеля с минимальной дисперсией доходности. При этом имеются следующие характеристики:

А_ср = 7,246; Б_ср =7,424

σ²_А = 0,659; σ²_Б = 2,137

σ_А = 0,812; σ_Б = 1,462.

Cov(А,Б) = -0,197;

ρ_АБ = Cov(А,Б)/( σ_А σ_Б) = -0,166.

σ_Р = 1,15%

Используя формулу (1.29), можно получить

(a_А)_min = (σ²_Б – ρ_АБ σ_Аσ_Б)/(σ²_А+σ²_Б – 2ρ_АБ σ_Аσ_Б)= 0,732.

Поскольку a_А + a_Б =1, a_Б = 0,268. Теперь можно определить значения волатильности и доходности:

σ_Р =(0,732² *0,659+0,268² *2,137-2*0,166*0,732*0,268*0,812*1,462) ^½= 0,655

R = a_АА_ср + Б_ср a_Б = 0,732*7,246 + 0,268*7,424 = 7,294

Выбор такой структуры портфеля приводит к существенному уменьшению значения волатильности и незначительному снижению уровня доходности.