2. . Волатильность портфеля активов.

Рассмотрим два свойства дисперсии.

а) Если все значения случайной величины (СВ) х умножить на а, то дисперсия увеличится в а² раз:

(1.11) σ²_ах = а² σ²_х

Действительно, вновь образованная СВ u = ax имеет следующую дисперсию

σ²_u = = = = a² = а² σ²_х ,

поскольку

u_cp = = = a = ax_cp

б) Дисперсия суммы двух СВ определяется таким образом:

(1.12) σ² = σ²_x + σ²_y + 2ρ_xy σ_xσ_y

где σ² – дисперсия суммы;

σ²_x , σ²_y – дисперсии СВ X и Y;

ρ_xy – коэффициент корреляции между данными СВ.

Последняя характеристика случайных величин X и Y определяется через величину ковариации и связана с ней соотношением:

(1.13) Cov(x;y) = ρ_xy σ_xσ_y .

Следовательно, если ввести в рассмотрение случайную величину u = x + y, то с учетом соотношений (1.3) – (1.5) можно получить

σ²_u = = = = = +

+ + = σ²_x + σ²_y + 2Cov(x;y).

Теперь, учитывая формулу (1.13), из предыдущего соотношения получается выражение (1.12).

На основе отмеченных свойств дисперсии можно получить выражение для расчета волатильности портфеля активов (σ_Р). Так, если портфель состоит из двух активов, причем удельный вес первого равен а_1, а второго – а_{2 ,} то дисперсия портфеля составит:

(1.14) σ²_Р = а²₁ σ²₁ + а²₂ σ²₂ + 2ρ₁₂ а₁а₂σ₁σ₂

Данную формулу можно обобщить на случай портфеля, состоящего из n активов:

(1.15) σ²_Р = а²_i σ²_i + 2 ρ_ij а_iа_jσ_iσ_j

Присутствующий здесь парный коэффициент корреляции между СВ хⁱ и х^j – ρ_ij , очевидно, характеризует степень их взаимосвязи (линейной зависимости) и определяется, в соответствии с формулой (1.13), таким образом:

(1.16) ρ_ij = ∑(хⁱ_k – хⁱ_cp)( х^j_k – х^j_cp)/(nσ_iσ_j ),

где хⁱ_cp, х^j_cp – средние значения СВ хⁱ и х^j (например, средние доходности двух акций);

σ₁ , σ₂ – СКО данных СВ (без учета числа степеней свободы).

Коэффициент корреляции имеет следующие свойства:

• он не имеет размерности, т.е. сопоставим для различных данных;

• его величина находится в пределах от -1 до +1. При ρ_ij = 0 взаимосвязь между СВ отсутствует. Значение ρ_ij = 1 говорит о том, что между СВ существует полная корреляция: с увеличением хⁱ линейно растет и х^j. При ρ_ij = -1 имеет место отрицательная линейная зависимость.

При проведении анализа риска вместе с коэффициентом корреляции используют и понятие ковариации, которая характеризует среднее значение сопряженной вариации отклонений от средних двух СВ х и у (1.5).

Пример 1. Портфель содержит два вида активов, А и Б. Их удельные веса в его общей стоимости составляют 0,2 и 0,8. Найдем СКО для доходности портфеля в целом. Данные о доходности за 12 торговых дней приведены в таблице.

Ежемесячные показатели доходности активов А и Б (%)
T	A	Б
1	6,35	9,02
2	6,88	7,65
3	6,99	9,12
4	7,91	7,01
5	7,40	5,69
6	9,12	8,65
7	6,38	6,36
8	6,13	10,23
9	7,55	6,56
10	8,12	7,01
11	6,99	5,23
12	7,13	6,56

Исходя из приведенных данных, получаем, что

А_ср = 7,246; Б_ср =7,424

σ²_А = 0,659; σ²_Б = 2,137

σ_А = 0,812; σ_Б = 1,462.

Следовательно, доходность актива Б выше, и его волатильность также заметно превышает волатильность актива А.

Cov(А,Б) = -0,197;

ρ_АБ = Cov(А,Б)/( σ_А σ_Б) = -0,166.

Теперь можно найти СКО портфеля:

σ_Р =( 0,2² *0,659+0,8² *2,137-2*0,166*0,2*0,8*0,812*1,462) ^½= 1,15

В случае ρ_АБ = 0 получается, что

σ_Р =( 0,2² *0,659+0,8² *2,137) ^½= 1,18

Очевидно, отрицательная корреляция уменьшила волатильность доходности портфеля, а сама доходность составляет:

R = 0,2*7,246 +0,8*7,424 = 7,388.