3.2 Сравнение двух или нескольких дисперсий.

При обработке результатов измерений параметров технологического процесса часто возникает необходимость сравнить две или несколько дисперсий. Цель сравнения - выявить, можно ли считать сравниваемые выборочные дисперсии оценками одной и той же генеральной дисперсии, то есть являются ли сравниваемые дисперсии однородными.

3.2.1 Сравнение двух дисперсий.

Рассмотрим две выборки:

X₁,X₂,X₃,.....X_n; Y₁,Y₂,Y₃,...Y_k;

а) вычисляем математическое ожидание каждой выборки по формулам:

, (3.4)

б) вычисляем выборочные дисперсии:

, (3.5)

, (3.6)

где n-объем выборки X;

к-объем выборки Y.

в) вычисляем степени свободы выборок:

f_n = n -1 ; f_k = k – 1, (3.7)

Проверка однородности двух дисперсий производится по критерию Фишера (F - распределение). F - распределение зависит от числа степеней свободы выборок f_n , f_k и уровня значимости .

Вычисляем расчетный критерий Фишера (F) по формуле

, (3.8)

при условии, что , в противном случае .Затем по таблице выбираем критерий Фишера. Дисперсии однородны (являются оценкой одной генеральной дисперсии) если F_расч.F_табл . В противном случае дисперсии неоднородны, следует более внимательно проверить анормальность результатов и проверить однородность дисперсий заново.

3.2.2 Сравнение нескольких дисперсий

Сравнение нескольких дисперсий проводят по критерию Кохрена или Бартлета. Если выборочные дисперсии получены по выборкам одинаковых объемов, то есть, с равными степенями свободы, то для их сравнения используют критерий Кохрена:

, (3.9)

где -выборочная дисперсия каждой выборки;

-максимальная выборочная дисперсия;

n - количество суммируемых дисперсий.

Затем по таблице “Квантили распределения Кохрена” находят табличный критерий Кохрена (G табл.), который зависит от количества степеней свободы (f), при оценке каждой из (f = n -1), от количества дисперсий (n) и от уровня значимости  .

Если G расч. окажется меньше G табл. дисперсии однородны, то есть являются оценкой одной генеральной дисперсии. В противном случае, дисперсии неоднородны и следует проверить анормальность результатов измерений в каждой выборке, в первую очередь в выборке, по результатам которой вычислена , a затем повторить все расчеты заново.

Если выборочные дисперсии получены по выборкам разного объема, то есть с разными степенями свободы, то проверка их однородности проводится по критерию Бартлета. Но расчет этого критерия несколько трудоемок. В этом случае можно пользоваться сравнением по критерию Фишера. Этот метод менее точен, но предельно прост.

Д ля расчета критерия Фишера в данном случае можно взять наибольшую и наименьшую из сравниваемых дисперсий. При этом:

(3.10)

Fтабл. находится по таблице “Квантили распределения Фишера”, аналогично описанному в разделе 3.2.1.

Если , дисперсии однородны.

3.3 Сравнение двух средних

Задача сравнения средних значений выборок (выборочных математических ожиданий) - также одна из самых распространенных. Цель сравнения - выявить, можно ли считать сравниваемые средние значения выборок (математических ожиданий) оценками одного и того же генерального математического ожидания, то есть являются ли сравниваемые средние однородными. Однородность сравниваемых средних говорит о том, что эти выборки принадлежат к одной генеральной совокупности. Необходимо заметить следующее: если сравниваемые выборки имеют неоднородные дисперсии, то процедура сравнения резко усложняется. В этом случае можно рекомендовать специальные методы, которые мы рассматривать не будем. Рассматриваемый здесь метод предполагает, что дисперсии однородны, то есть .

Предварительно рассчитываем среднюю дисперсию по формуле:

, (3.11)

где - выборочные дисперсии первой и второй выборок,

, степени свободы сравниваемых выборок.

Для сравнения двух средних арифметических используют критерий Стьюдента (t - критерий). Расчетное значение критерия Стьюдента вычисляют по следующей формуле:

, (3.12)

где X₁,Х₂ - средние арифметические (математические ожидания) сравниваемых выборок;

n ₁,n₂ -объем сравниваемых выборок.

Табличный критерий Стьюдента находится по таблице “Квантили распределения Стьюдента”, который зависит от числа степеней свободы выборок (f) и уровня значимости (a). Число степеней свободы выборок , при этом следует учесть, что ; .Если , то и есть оценки одного генерального математического ожидания, и выборки относятся к одной генеральной совокупности.

При сравнении нескольких средних можно также использовать критерий Стьюдента, проводя сравнения попарно. Однако, для использования при сравнении полной информации о всех средних такое сравнение проводят при помощи множественного рангового критерия Дункана. В данном курсе этот метод не рассматривается.