Приклад розв’язання задачі д.9. Третій рівень складності.

Механізм (рис. 21.28,а), який розташований в горизонтальній площині, складається зі стержнів 1, 2, 3, 4 і повзуна В. Стержні з’єднані між собою, з повзуном і з нерухомими опорами О₁ і О₂ шарнірами. До повзуна В прикріплено дві пружини, які з’єднані послідовно. Коефіцієнт жорсткості кожної пружини дорівнює с. На повзун діє сила . До стержня 1 прикладені дві пари сил з моментами М₁ і М₁´, а до стержня 4 - дві пари сил з моментами М₂ і М₂´.

Дано: l₁=0,6 м; l₂=0,8 м; l₃=1,5 м; l₄=2 м; α=90⁰; β=150⁰; γ = 120⁰ ; φ = 0⁰ ; с =250 Н/см; М₁=400 Нм; М₁´= 5 Нм ;

М₂ = 200 Нм; М₂´= 10 Нм; Q= 100 Н.

Визначити: деформацію λ пружини при рівновазі механізму.

Розв’язання. 1. Будуємо положення механізму у відповідності з заданими кутами (рис. 21.28,б).

Для розв’язання задачі скористаємось принципом можливих переміщень, згідно якого

∑ δΑ ( )= 0, (1)

де ∑δΑ( ) – сума елементарних робіт активних сил на відповідних можливих переміщеннях.

Покажемо активні сили, що діють на механізм: силу , силу пружності пружини ( вважаємо, що пружина стиснута) і пари сил з моментами М₁, М₁´, М₂ і М₂´.

Невідому силу знайдемо з рівняння (1), а, знаючи її, з рівності

F = c₁λ , (2)

де c₁ – коефіцієнт жорсткості еквівалентної пружини, знайдемо деформацію пружини λ.

2. Для складання рівняння (1) надамо механізму можливе переміщення.

Введемо такі позначення для переміщення ланок, до яких прикладені сили:

Рис. 21. 28, а, б.

δφ₁ - кут повороту стержня 1 навколо осі О₁; δφ₄ - кут повороту стержня 4 навколо осі О₂; δS_В - переміщення повзуна В.

Система має один ступінь вільності, через це з переміщень δφ₁, δφ₄ і δS_В незалежним є лише одне можливе переміщення. Приймемо за незалежне можливе переміщення δφ₁ - кут повороту стержня 1 - і встановимо, як будуть виражатись переміщення δφ₄ і δS_В через δφ₁. При цьому необхідно правильно визначити напрям можливих переміщень, для чого необхідно знайти центри миттєвого повороту для кожної ланки (миттєві центри швидкостей). Для ланок 2 і 3 - це точки С₂ і С₃ .

Залежності між можливими переміщеннями можна знайти з рисунка:

З ∆DС₃В знаходимо

Скористаємось тепер теоремою про рівність проекцій можливих переміщень двох точок плоскої фігури на пряму, що з’єднує ці точки. З рис. 21.28,б маємо

δS_А = δφ₁ l₁ ; (3)

δS_А cos30⁰ = δS_Е cos60⁰ ;

(4)

(5)

(6)

;

(7)

З усього видно, що обидва методи дають для можливих переміщень однакові величини.

3. Складаємо рівняння (1). При цьому спочатку необхідно замінити систему двох пружин однією пружиною, коефіцієнт жорсткості с₁ якої визначається так:

Н/см = 125 10² Н/м.

Тоді

(8)

Замінюємо можливі переміщення і їх значеннями згідно (5) і (7), виносимо за дужки:

(9)

Через те, що ≠0, одержимо

; (10)

400 – 5 + 2001,04 – 101,04 – 1001,2  F1,2 = 0, (11)

звідси

472 – F 1,2 = 0;

F = 393 H.

Деформація пружини

м =3,15 см.

Відповідь: деформація пружини λ = 3,15 см, знак показує, що пружина, як і припускалось, стиснута.

373