Основная теорема булевой алгебры
Основная теорема обосновывает способ построения (синтеза) переключательной функции преобразователя, если имеется таблица истинности.
Дадим определения.
Минтерм N аргументов – это логическое произведение всех N аргументов, входящих в произведение в прямой и инверсной форме.
Макстерм N аргументов – это логическая сумма всех N аргументов, входящих в эту сумму в прямой и инверсной форме.
Форма аргумента выбирается в зависимости от его значения во входном наборе.
Например. Для случая 2-х аргументов значения всех минтермов (m) и макстермов (M) приведены в таблице.
№набора |
a |
b |
минтерм |
макстерм |
||
0 |
0 |
0 |
НЕ(a)&НЕ(b) |
m0 |
НЕ(a)VНЕ(b) |
M0 |
1 |
0 |
1 |
НЕ(a)&b |
m1 |
НЕ(a)Vb |
M1 |
2 |
1 |
0 |
b&НЕ(b) |
m2 |
aVНЕ(b) |
M2 |
3 |
1 |
1 |
a & b |
m3 |
a V b |
M3 |
№ набора соответствует конкретной комбинации входных параметров, а мы считаем, что эта комбинация изображает номер набора двоичным числом. Поэтому указав какой-либо минтерм или макстерм, мы однозначно определяем соответствующий ему входной набор.
Например, m2, описывающий входной набор из трех аргументов (x,y,z), соответствующий входной комбинации (0,1,0) с номером 2, при формульной записи примет вид:
НЕ(x) & y & НЕ(z) ,
а макстерм M2 для него
НЕ(x) V y V НЕ(z)
Основная теорема булевой алгебры утверждает, что любую переключательную функцию можно записать либо в виде суммы минтермов, либо в виде произведения макстермов.
Отсюда два правила построения переключательной функции по таблице истинности.
Правило 1.
Любая переключательная функция может быть задана в виде суммы минтермов, на которых она принимает значение «1».
При этом форма каждого аргумента выбирается такой, чтобы он принимал истинное значение, т.е. «1».
Соответствующая этому форма записи переключательной функции называется совершенной дизъюнктивной нормальной формой (СДНФ).
СДНФ реализуется трёхуровневой логической схемой, где первый уровень составляют инверторы, второй – конъюнктеры (И) и третий – дизъюнктеры (ИЛИ).
Согласно определению для записи функции в СДНФ надо построить для функции таблицу истинности, и затем записать логическую сумму минтермов всех строк таблицы, в которых функция принимает значение «1» .
Правило 2.
Любая переключательная функция может быть задана в виде произведения макстермов для наборов, на которых она принимает значение «0». При этом форма аргумента выбирается такой, чтобы аргумент, а значит макстерм, принял ложное значение «0».
Соответствующая этому правилу форма записи переключательной функции называется совершенной конъюнктивной нормальной формой (СКНФ).
Согласно определению для записи функции в СКНФ надо построить для функции таблицу истинности и затем записать логическое произведение сумм переменных, имеющих вид макстрема, для всех строк таблицы, в которых функция принимает значение «0».
Следствие основной теоремы.
Любая переключательная функция может быть записана с помощью трех функций:
- инверсии (НЕ);
- конъюнкции (И);
- дизъюнкции (ИЛИ).
Система функций, с помощью которой может быть записана любая сколь угодно сложная переключательная функция, называемая функционально полной системой или базисом.