Примеры использования основной теоремы

Пример 1.

Спроектировать логическую схему устройства, осуществляющего арифметическое сложение двух одноразрядных двоичных чисел.

Сначала проанализируем поведение устройства с позиций арифметики. Проще это сделать в таблице.

слагаемое 1 (a)	слагаемое 2 (b)	результат (a V b)	результат в 2с.с.
0	0	0	00
0	1	1	01
1	0	1	01
1	1	2	10

Будет четыре разных набора на входе. Будет 2 разных аргумента, значит устройство на два входа. На выходе может появиться только три различных значения. По формуле Хартли для представления трёх равновероятных значений требуется единиц информации. После округления этого значения получается, что устройство должно обеспечить выдачу двухразрядного двоичного числа, т.е. иметь два одноразрядных двоичных выхода. Один выход – даст значение текущего разряда результата, а второй – значение переноса в старший разряд суммы (является в общем случае многоразрядным числом ).

Теперь можно построить таблицу истинности для значения текущего разряда (S) и переноса в старший разряд (P).

№набора	a	b	P	S
0	0	0	0	0
1	0	1	0	1
2	1	0	0	1
3	1	1	1	0

Теперь можно написать уравнения для выходов (функций) P и S, используя любой из двух вариантов основной теоремы, т.е. в СДНФ или в СКНФ.

СДНФ СКНФ

P = a & b P = (НЕ(a) V НЕ(b))&(a V НЕ(b)) & (НЕ(a) V b)

S = НЕ(a) & b V a & НЕ(b) S = (НЕ(a) V НЕ(b)) & (a V b) .

Так как две формы записи одинаково справедливы, для реализации устройства выбирают более компактные ( где потребуется меньшее количество операций ). Для функции P это обеспечивается в СДНФ, а для S обе формулы трудоёмки. Выбираем в форме СКНФ. Тогда система уравнений будет следующей:

P = a & b

S = ( a V b ) & (НЕ(a) V НЕ(b)) (a V b) & НЕ(a & b) .

Результат в графической форме, т.е. в виде функциональной схемы, представлены на рисунке.

a a&b P

НЕ(a & b)

a V b S

Рассмотренная схема широко используется в практике и называется полусумматором. Имеет стандартизованное условно-графическое изображение.

Пример 2.

Спроектировать (синтезировать) функциональное устройство, обеспечивающее умножение любого двухразрядного двоичного числа, поступившего на его вход, на константу 2.

Определим сначала число входов и выходов устройства.

Так, как входное двухразрядное число потребует ровно 2 двоичных входа, на них может поступить четыре (0,1,2,3) разных набора. А на выходе устройства может появиться четыре разных значения. Запишем их в 10-й и в 2-й форме.

0 * 2 = 0 (0)

1 * 2 = 2 (10)

2 * 2 = 4 (100)

3 * 2 = 6 (110)

Пусть проектируемое устройство выдаёт результат в виде двоичного числа. Тогда для записи максимального из возможных чисел (6) потребуется 3 бита ( с округлением =3 ). Эти биты являются отдельными разрядами многоразрядного ( в нашем случае 3-х разрядного) двоичного числа y, и для их обозначения в таблице истинности для устройства мы используем индексы, указывающие номер соответствующего разряда. Также поступим и с входным числом x.