2. Критерий Шарлье.

Критерий используют при числе наблюдений больше 20. сначала определяется , где - значение нормированной функции Лапласа для . Если значение в ряду превосходит по модулю значение , то результат отбрасывается . Значение в зависимости от числа измерений приводятся в табл.

Таблица

Критические значения критерия Шарлье

	5	10	20	30	40	50	100
	1,3	1,65	1,96	2,13	2,24	2,32	2,58

3. Критерий Шовине.

Критерий применяют при числе измерений менее 20. сначала определяют значение по зависимости

,

а затем , значение которого приводится в табл.

Таблица

Значения критерия Шовине

	3	4	5	6	7	8	9	10
	1,38	1,53	1,65	1,73	1,80	1,86	1,92	1,96
	12	14	16	18	20	25	30	50
	2,03	2,10	2,15	2,20	2,24	2,32	2,39	2,57

Если разность между сомнительным результатом и средним арифметическим значением (остаточная погрешность) превосходит по модулю величину , то результат отбрасывается как промах.

4. Критерий Райта.

Если остаточная погрешность больше , то результат отбрасывается как грубая погрешность ( - сомнительный результат).

Критерий применяется при большом числе измреений.

Иногда пользуются критерием . Если разность > , то результат принимают за грубую погрешность и отбрасывают.

Проверка нормальности результатов наблюдений

При числе результатов наблюдений <50 нормальность распределения проверяют при помощи составного критерия.

Критерий 1.

Вычисляют отношение :

,

где – смещенная оценка среднеквадратического отклонения, которая вычисляется по формуле

.

Результаты наблюдений считаются нормально распределенными, если

< < ,

где и - квантили распределения, получаемые из таблицы; – заранее выбранный уровень значимости.

Таблица

Статистика

	1%	5%	95%	99%
16	0,9137	0,8884	0,7236	0,6829
21	0,9001	0,8768	0,7304	0,6950
26	0,8901	0,8686	0,7360	0,7040
31	0,8826	0,8625	0,7404	0,7110
36	0,8769	0,8578	0,7440	0,7167
41	0,8722	0,8540	0,7470	0,7216
46	0,8682	0,8508	0,7496	0,7256
51	0,8648	0,8481	0,7518	0,7291

Критерий 2.

По этому критерию результаты наблюдений принадлежат нормальному распределению, если не более разностей превзошли значение , где определяется по формуле

,

– верхняя квантиль распределения нормированной функции Лапласа, отвечающая вероятности .

Значения определяются из таблицы по выбранному уровню значимости и числу результатов наблюдений .

Если при проверке нормальности распределения для критерия 1 выбран уровень значимости , а для критерия 2 – , то результирующий уровень значимости составного критерия будет .

Распределение результатов наблюдений не соответствует нормальному в том случае, если не соблюдается хотя бы один из критериев.

Таблица

Значения для вычисления

		1%	2%	5%
10	1	0,98	0,98	0,96
11 – 14	1	0,99	0,98	0,97
15 – 20	1	0,99	0,99	0,98
21 – 22	2	0,98	0,97	0,96
23	2	0,98	0,98	0,96
24 – 27	2	0,98	0,98	0,97
28 – 32	2	0,99	0,98	0,97
33 – 35	2	0,99	0,98	0,98
36 – 49	2	0,99	0,99	0,98

Проверку гипотезы о том, что результаты наблюдений принадлежат нормальному распределению, следует проводить с уровнем значимости от 10 до 2%.

При большом числе наблюдений (более 50) используются критерий согласия К.Пирсона (критерий ) для группированных наблюдений и критерий Р.Мизеса – Н.В.Смирнова (критерий ) для негруппированных наблюдений.

Метод заключается в контроле отклонений гистограммы экспериментальных данных от гистограммы с таким же числом наблюдений, построенной на основе нормального распределения.

Порядок вычислений следующий:

1. Вычисляют среднее арифметическое результата измерений и оценку среднеквадратического результата наблюдений.

2. Группируют наблюдения по интервалам. Для каждого интервала вычисляют середину и подсчитывают эмпирическое число наблюдений , попавшее в каждый интервал. При числе наблюдений 40 – 100 принимают 5 – 9 интервалов.

3. Вычисляют теоретически соответствующее нормальному распределению число наблюдений для каждого интервала. Для этого из реальных середин интервалов переходят к нормированным :

.

Затем для каждого значения находят значение функции плотности вероятностей :

.

4. Вычисляют ту часть общего числа имеющихся наблюдений, которая теоретически должна была быть в каждом из интервалов:

,

где - общее число наблюдений; - длина интервала, принятая при построении гистограммы.

5. Если в какой-либо интервал теоретически попадает меньше наблюдений, то его в обеих гистограммах соединяют с соседним интервалом.

6. Определяют число степеней свободы , где – общее число интервалов после укрупнения.

7. Вычисляют показатель разности частот :

,

где .

8. Выбирают уровень значимости (от 0,02≤ ≤0,1%). По уровню значимости и числу степеней свободы находят границу критической области . Если оказывается, что > , то гипотеза о нормальности отвергается.

Определение доверительных границ случайной и неисключенной систематической погрешности результата измерения

Доверительные границы случайной погрешности результата измерения устанавливаются для результатов наблюдений, принадлежащих нормальному распределению. Они без учета знака определяются выражением

,

где – коэффициент Стьюдента, который зависит от заданной доверительной вероятности и числа результатов наблюдений. Доверительную вероятность принимают равной 0,95; допускается указывать границы для .

Доверительные границы неисключенной систематической погрешности результата измерений вычисляют путем построения композиции распределения составляющих неисключенных систематических погрешностей. При равномерном распределении эти границы вычисляются по формуле

,

где – коэффициент, определяемый принятой доверительной вероятностью, равный 1,1 при и 1,4 – при и > 4; – число суммируемых неисключенных погрешностей.

Если < 4, то коэффициент определяют по данному графику зависимости , . За принимается наиболее отличающаяся от других составляющая, в качестве следует принимать ближайшую в составляющую.

При определении границы погрешности результата измерения рассматривают соотношение неисключенной систематической и случайной погрешностей.

Если неисключенные систематические погрешности пренебрежимо малы по сравнению со случайными ( < 0,8), то погрешность результата измерения можно характеризовать только доверительными границами случайной погрешности, т.е. .

Если пренебрежимо малы случайные погрешности ( > 8), то погрешность результата измерения характеризуется неисключенными систематическими погрешностями .

Если 0,8 < <8, то граница погрешности результата измерения вычисляется по формуле , где – коэффициент, зависящий от соотношения случайной и неисключенной систематической погрешностей; – оценка суммарного среднеквадратического отклонения результата измерения, вычисляемая по формуле

.

Коэффициент определяют по зависимости

.

Результаты измерения должны быть представлены в стандартной форме. Так, при симметричной доверительной погрешности указывают: результат , граница погрешности и вероятность :

.

Численное значение результата должно оканчиваться цифрой того же разряда, что и значение погрешности.

При необходимости дальнейшей обработки результатов или анализа погрешности результаты измерения представляются в форме , , , . Иногда указывают и доверительную вероятность .

Обработка результатов прямых многократных неравноточных измерений

Часто в практике измерений встречаются случаи. Когда оценки измеряемой величины получены путем обработки результатов наблюдений, выполненных в различных условиях: различными наблюдателями, разными приборами, в разное время. Степень доверия к таким измерениям может быть различна, например, из-за различия точностных характеристик средств измерений. В этом случае для оценки наиболее вероятного значения величины каждому результату необходимо приписать некоторый вес, характеризующий степень доверия к результату. При этом, чем больше вес измерения, тем больше степень доверия к результату. За результат измерения в этом случае принимается среднее взвешенное значение, определяемое по формуле

,

где – средние значения отдельных рядов наблюдений; – соответствующие им веса измерений, которые чаще всего устанавливают обратно пропорциональными дисперсии ( ).

Если теоретические дисперсии неизвестны, то пользуются их оценками, с помощью которых определяют их веса: .

Другим критерием для определения весов результатов измерений являются числа наблюдений в каждой группе при . В этом случае среднее взвешенное будет определяться по формуле

.

Оценка среднего квадратического отклонения принимается в качестве точечной характеристики случайной погрешности результата и рассчитывается по формуле

,

где – число рядов.

Иногда при расчетах пользуются и другой зависимостью, связывая среднеквадратическое отклонение со средним взвешенным значением:

.

Доверительный интервал результата измерения можно представить формулой

< < ,

где коэффициент Стьюдента определяется в зависимости от заданной доверительной вероятности и числа степеней свободы .